Teorema do Ponto Interior

Prove que a soma das distâncias de um ponto qualquer ,interior a um tetraedro regular, até cada um dos lados é a sua própria altura.

Para um ponto P qualquer dentro do tetraedro teremos 4 alturas relativas às bases. Chamaremos de h1, h2, h3 e h4.

Como o tetraedro é regular, a área de todas as faces é a mesma (S) e as alturas relativas à essas bases são iguais (H)

Vamos usar o Tetraedro ABCD, seu volume é SH/3
Então vamos somar os volumes dos 4 pequenos tetraedros não regulares formados: PABC, PABD, PACD E PBCD.

O volume desses tetraedros pode ser calculado através das alturas h1, h2 h3 e h4 e a área S, pois essas alturas são perpendiculares as bases de área S.

SH/3 = Sh1/3 + Sh2/3 + Sh3/3 +Sh4/3

O S/3 corta e ficamos com:

H=h1+h2+h3+h4

Sr Bevictori escreveu:Para um ponto P qualquer dentro do tetraedro teremos 4 alturas relativas às bases. Chamaremos de h1, h2, h3 e h4.

Como o tetraedro é regular, a área de todas as faces é a mesma (S) e as alturas relativas à essas bases são iguais (H)

Vamos usar o Tetraedro ABCD, seu volume é SH/3
Então vamos somar os volumes dos 4 pequenos tetraedros não regulares formados: PABC, PABD, PACD E PBCD.

O volume desses tetraedros pode ser calculado através das alturas h1, h2 h3 e h4 e a área S, pois essas alturas são perpendiculares as bases de área S.

SH/3 = Sh1/3 + Sh2/3 + Sh3/3 +Sh4/3

O S/3 corta e ficamos com:

H=h1+h2+h3+h4

Muito Obrigada!