Triângulo planetário

Três planetas, cujas massas são dadas por [latex]m1, m2, m3[/latex] estão localizados nos pontos não colineares [latex]P1, P2, P3[/latex]. Eles interagem entre si somente mediante às forças gravitacionais. Os astros estão livres e isolados no espaço, interagindo apenas entre si. Considere [latex]\sigma [/latex] como sendo o eixo que passa pelo centro de massa dos três corpos e é perpendicular ao triângulo [latex]\Delta P1P2P3[/latex].

Qual deve ser a velocidade angular [latex]\omega [/latex], em relação ao eixo [latex]\sigma[/latex], e as distâncias [latex]a_{12}, a_{13}, a_{23}[/latex] para que a forma e o tamanho do triângulo permaneçam inalterados durante o movimento, ou seja, para que o sistema se comporte como um corpo rígido em relação ao eixo [latex]\sigma[/latex].

Bem, visto que ninguém conseguiu apresentar uma solução pro problema, vou inserir a resolução aqui, baseado em um dos problemas semanais do NOIC.

A princípio, temos de considerar que, para que esse sistema de três corpos funcione como um corpo rígido, a distância entre os corpos deve ser constante e a velocidade angular  [latex]\omega [/latex] também. 

Analisando a energia mecânica do sistema, temos 

Energia cinética

[latex]K=\frac{m_{1}\omega ^{2}d_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2}\omega ^{2}d_{2}^{2}}{2} + \frac{m_{3}\omega ^{2}d_{3}^{2}}{2} [/latex]
 
sabemos que, pelas condições do enunciado, [latex]d_{1}, d_{2}, d_{3}[/latex] são constantes. Logo, [latex]\omega [/latex] é constante.


 See escrevermos a equação da posição do centro de massa, admitindo que sua posição seja a origem, temos


[latex]m_{1}\vec{r_{1}} + m_{2}\vec{r_{2}} + m_{3}\vec{r_{3}} = 0[/latex]



Agora, se analisarmos as forças que atuam em uma massa qualquer, em um referencial não-inercial, devemos adicionar uma força centrífuga 
para a massa 1. Temos, em termos vetoriais

[latex]\frac{Gm_{1}m_{2}}{a_{12}^3} (\vec{r_{1}}-\vec{r_{2}}) + \frac{Gm_{1}m_{3}}{a_{13}^3} (\vec{r_{1}}-\vec{r_{3}}) + \frac{Gm_{2}m_{3}}{a_{23}^3} (\vec{r_{2}}-\vec{r_{3}})+ m_{1}\omega^2r_{1}=0[/latex]


No entanto, ocorre que os vetores [latex]r_{1}, r_{3}[/latex] são linearmente independentes
isso nos possibilita concluir que cada coeficiente que os acompanha é nulo


Logo, 

[latex]\frac{1}{a_{13}^3} - \frac{1}{a_{12}^3}=0[/latex]


Se fizermos com a massa 2, concluímos que o triângulo é equilátero, cujo lado vamos chamar de [latex]a[/latex]


por outro lado, temos


[latex]\omega^2-\frac{G(m_{1}+m_{2}+m_{3})}{a^3}=0[/latex]


[latex]\omega =\sqrt{\frac{G(m_{1}+m_{2}+m_{3})}{a^3}}[/latex]

OBS: Creio que o fato deles serem linearmente independentes é porque na condição de alinhamento de pontos, o determinante é diferente de zero, levando a um sistema possível e determinado. Nesse caso, a solução seria única. Logo, em um dos fatores da equação das forças que atuavam em 1, era inevitável que os escalares que multiplicaram os vetores r1 e r3 fossem nulos.

Bem, eu precisei entrar na POLI pra entender esse conceito rs
Basicamente, seja o somatorio do produto entre coeficientes an por um vetor un
entao:
L.I: sum(an.un) = 0 <-> an = 0.
dai vem que as medidas a12, a13 e a23 sao iguais, chegando a um triangulo equilátero
ainda que eu acredite que ninguem mais esteja interessado nesse problema, deixo o esclarecimento do que eu botei em 2020.