(UniAtenas) Q15 - Juros Compostos

por Dr.Astro 10/9/2019, 10:38 am

Gastatudo é esposa de Rapatudo. Certo dia após Gastatudo ver a propaganda acima decidiu convencer seu esposo a fazer um empréstimo no valor do referido sofá, à uma taxa de juros compostos de 10% a.m. Rapatudo concordou com a aquisição, desde que o empréstimo que seria feito no Banco “Seu Empréstimo Nossa Alegria’’ fosse quitado em 4 meses, da seguinte forma:
1º pagamento realizado no primeiro mês após a compra no valor de P reais
2º pagamento realizado no segundo mês após a compra no valor de 2.P reais
3º pagamento realizado no terceiro mês após a compra no valor de 3.P reais
4º pagamento realizado no quarto mês após a compra no valor de 4.P reais.

Considerando apenas a parte inteira de P, qual é a soma dos algarismos da centena e dezena desse número? Marque a opção correta:

a)7
b)5
c)9
d)3
e)1
Não tenho o gabarito

por **jota-r** 14/9/2019, 5:58 pm

Dr.Astro escreveu:
Gastatudo é esposa de Rapatudo. Certo dia após Gastatudo ver a propaganda acima decidiu convencer seu esposo a fazer um empréstimo no valor do referido sofá, à uma taxa de juros compostos de 10% a.m. Rapatudo concordou com a aquisição, desde que o empréstimo que seria feito no Banco “Seu Empréstimo Nossa Alegria’’ fosse quitado em 4 meses, da seguinte forma:
1º pagamento realizado no primeiro mês após a compra no valor de P reais
2º pagamento realizado no segundo mês após a compra no valor de 2.P reais
3º pagamento realizado no terceiro mês após a compra no valor de 3.P reais
4º pagamento realizado no quarto mês após a compra no valor de 4.P reais.

Considerando apenas a parte inteira de P, qual é a soma dos algarismos da centena e dezena desse número? Marque a opção correta:

a)7
b)5
c)9
d)3
e)1
Não tenho o gabarito

por **Baltuilhe** 14/9/2019, 6:53 pm

Boa tarde!

Por 'encrével' que pareça há fórmula para o cálculo direto desse exercício Smile

É uma renda variável em Gradiente (uma P.A. financeira Smile

)
Bom, vou postar a fórmula:
Para uma renda 'normal', ou seja, um valor P por n períodos, usamos a seguinte fórmula:
a_{\overline{n|}i}=\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\Rightarrow\boxed{PV=PMT\cdot a_{\overline{n|}i}}

Agora, se tivermos uma renda em PA com o primeiro termo P e a razão igual a P, então:
Esta primeira fórmula serve para calcular a renda de n pagamentos sendo que o primeiro é na data do empréstimo.
\overline{a}_{\overline{n|}i}=a_{\overline{n|}i}\cdot\left(1+i\right)=\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-(n-1)}}{i}+1=a_{\overline{n-1|}i}+1
Com esta última fórmula podemos escrever mais facilmente a fórmula abaixo:
\left(Ia_{\overline{n|}i}\right)=\dfrac{\overline{a}_{\overline{n|}i}-\dfrac{n}{\left(1+i\right)^{n}}}{i}\Rightarrow\boxed{PV=PMT\cdot \left(Ia_{\overline{n|}i}\right)}

Então, calculando:
\left(Ia_{\overline{4|}10\%}\right)=\dfrac{\overline{a}_{\overline{4|}10\%}-\dfrac{4}{\left(1+10\%\right)^{4}}}{10\%}
\left(Ia_{\overline{4|}10\%}\right)=\dfrac{a_{\overline{n-1|}i}+1-\dfrac{4}{\left(1+10\%\right)^{4}}}{10\%}
\left(Ia_{\overline{4|}10\%}\right)=\dfrac{\dfrac{1-\left(1+10\%\right)^{-(4-1)}}{10\%}+1-\dfrac{4}{\left(1+10\%\right)^{4}}}{10\%}
\left(Ia_{\overline{4|}10\%}\right)=\dfrac{\dfrac{1-1,1^{-3}}{0,1}+1-\dfrac{4}{1,1^{4}}}{0,1}
\left(Ia_{\overline{4|}10\%}\right)\approx 7,547982
PV=PMT\cdot \left(Ia_{\overline{n|}i}\right)
10\,000=P\cdot 7,547982
P\approx 1\,324,86

Agora que temos o valor de P:
Centena = 3
Dezena = 2
Somando-se: 3+2 = 5

b)

Verificando:
PV=\dfrac{P}{1,1}+\dfrac{2P}{1,1^2}+\dfrac{3P}{1,1^3}+\dfrac{4P}{1,1^4}
PV=\dfrac{1\,324,86}{1,1}+\dfrac{2\cdot 1\,324,86}{1,1^2}+\dfrac{3\cdot 1\,324,86}{1,1^3}+\dfrac{4\cdot 1\,324,86}{1,1^4}
PV\approx 1\,204,42+2\,189,85+2\,986,16+3\,619,58
PV\approx 10\,000,00

Espero ter ajudado!