Planos

Dados os planos ∏1: x-y+z+1=0, ∏2:x+y-z-1=0 e ∏3: x+y+2z-2=0, encontre uma equação geral do plano ∏ que contém ∏1Ո∏2 e é perpendicular ao plano ∏3.

Fazendo a interseção dos planos ∏₁ e ∏₂:




Note que o lugar geométrico dos pontos P, pertencentes à interseção dos planos, é uma reta pertencente ao plano x=0.

O que vamos fazer agora é achar dois vetores u e v, que tenham a mesma direção do plano ∏. Com isso, conseguiremos achar um vetor N = u X v, de modo que este vetor é perpendicular a ∏. Usando as coordenas desse vetor e um ponto qualquer do plano ∏, conseguiremos achar a sua equação. 

Teorema:
No ℝ³ , N = (a,b,c) é um vetor perpendicular ao plano se e somente se o plano pode ser escrito como ax + by + cz + d = 0.

Usando esse teorema, uma vez que ∏₃: x + y + 2z - 2 = 0, temos que u = (1,1,2) é perpendicular a ∏₃, e consequentemente, tem a mesma direção que ∏.
Além disso, como o plano ∏ contém a reta calculada inicialmente, tem-se que o vetor diretor da reta tem a mesma direção do plano. Para encontrarmos esse vetor diretor, basta fazermos a diferença entre dois pontos da reta. Veja:



Agora que sabemos os vetores u e v, podemos calcular o vetor N = u X v:



Agora que sabemos N, pelo teorema anterior, o plano ∏ tem equação - x - y + z + d = 0.
Como ∏ contém todos os pontos P da reta calculado anteriormente, ∏ contém em particular P₁. Logo:

- 0 - 1 + 0 + d = 0 ⇒ d = 1

Portanto:


∏ : - x - y + z +1 = 0