Desigualdade triangular

por Xm280 Qui 23 maio 2019, 09:45

P está no interior do ∆ABC, de perímetro s, então:

A) 0 < s < 15
B) 8 < s < 20
C) 0 < s < 25
D) 19 < s < 30
E) s = 15

Gabarito:

Eu resolvi assim usando a condição de existência de um triângulo ∆ABC: |b-c| < a < b + c

Para o triângulo APC, tem-se: 4 < AC < 10

Para o triângulo BPC, tem-se: 2 < BC < 12

Para o triângulo APB, tem-se: 2 < AB < 8

Somando as desigualdades, tem-se: 8 < s < 30. Mas de acordo com esse raciocínio, tanto a B como a D satisfariam essa condição. Onde estou errando?

por **Vitor Ahcor** Qui 23 maio 2019, 11:29

Olá, Xm280

Além das suas considerações, você também deve garantir que:

AB + AC > PB + PC = 12
AB + BC > PA + PC = 10
AC + BC > PA + PB = 8

Somando membro a membro e dividindo por 2, têm-se:

AB + AC + BC > 15

Portanto, usando o resultado que você já obteve (s < 30), vem que:

15 < AB + AC + BC < 30.

15 < s < 30.

*OBS: A demonstração das desigualdades que utilizei já foi feita aqui no fórum: https://pir2.forumeiros.com/t66880-a-soma-das-distancias-do-ponto-p-aos-vertices

por Xm280 Qui 23 maio 2019, 15:03

Essa condição é nova pra mim e agradeço à demonstração feita no outro tópico. Mas ela tem algum enunciado já visto ou foi uma percepção sua?

por **Vitor Ahcor** Qui 23 maio 2019, 15:41

Essa relação, acredito eu, é bastante conhecida. Talvez você a encontre no livro de geometria do Rufino ou do Morgado. Era essa sua dúvida? Acho que não entendi muito bem