Provar propriedades Conjuntos

Para qualquer função h: \textbf{D} \rightarrow \textbf{C}, prove que

  h \left[   \textbf{A}\cap \textbf{B} \right]   \subseteq  h \left[   \textbf{A} \right] \cap h \left[ \textbf{B} \right] \right]  


Onde \textbf{A}   e \textbf{B} são subconjuntos de \textbf{D} . Prove que a igualdade na expressão acima não é valida em geral. Para quais tipos de funções h a igualdade é verdadeira na expressão acima? (Justifique sua resposta). (Dica: h \left[ X \right] = \left\{ c \in \textbf{C} \ tq \ c=h(x) \ para \ algum  \left\ x \in \textbf{X} \right\} , ou seja, h \left[ X \right ] é a imagem do conjunto X pela função h .)

Suponha que os conjuntos A e B tenham exatamente n elementos em comum: i1, i2, ..., in. 

Considerando que A tenha j elementos únicos e B tenha k elementos únicos, podemos escrever:

A\cap B=\left \{ i_1,i_2,...,i_n \right \}\\
A = \left \{ i_1, i_2, ...,i_n,a_1,a_2,...,a_j \right \} \\
B = \left \{ i_1, i_2, ...,i_n,b_1,b_2,...,b_k \right \}


Por um lado, temos

h\left [ A \cap B \right ]=\left \{ h(i_1), h(i_2), ..., h(i_n) \right \} \text{ (I)}

Mas por outro:


h[A]=\left \{ h(i_1), h(i_2), ..., h(i_n), h(a_1), h(a_2), ..., h(a_j) \right \}\\
h[B]=\left \{ h(i_1), h(i_2), ..., h(i_n), h(b_1), h(b_2), ..., h(b_k) \right \} \\
\Rightarrow h[A]\cap h[B]\supset \left \{ h(i_1), h(i_2), ..., h(i_n) \right \} \text{ (II)}


De (I) e (II):

h[A]\cap h[B]\supset h\left [ A \cap B \right ]

Portanto, é logicamente verdadeiro que:

h\left [ A \cap B \right ] \subseteq  h[A]\cap h[B]

O que conclui a demonstração.

Agora, você deve ter notado que a minha equação (II) foi estranha. Por que eu tive o cuidado de usar "contém" em vez jogar uma igualdade? Isso tem tudo a ver com a segunda parte do enunciado.

Sem dúvidas é verdade que {h(i1), h(i2), ..., h(in)} faz parte do conteúdo de h[A] Ո h[B]. No entanto, eu não sei se esse é todo o conteúdo. Repare que ao computarmos todos os h(a_algo) e todos os h(b_algo) é possível que surjam valores repetidos. Quem me garante que, por exemplo, não acontece de h(a11) = 7 e h(b53) = 7? Isso exigiria que o elemento 7 entrasse em h[A] Ո h[B].

A única forma de garantirmos que uma coincidência como essa não ocorre fora dos elementos comuns i1, i2, ..., in é se soubermos que a função h é injetora. Se h for injetora, elementos distintos no domínio levam a elementos distintos na imagem, o que garante que as saídas da função h só são iguais se as entradas forem iguais.

Portanto, se não houver garantias de h ser injetora, não podemos ir além de dizer que h[AՈB] está dentro de h[A] Ո h[B]. No entanto, se h for injetora, então h[AՈB] e h[A] Ո h[B] são rigorosamente o mesmo conjunto, de onde vem h[AՈB] = h[A] Ո h[B].

Muito obrigado, sua resposta foi bem esclarecedora. Eu só não entendi na \textbf{h} \left[ A \right] e da mesma forma \textbf{h} \left[ B \right]  , o primeiro não seria até aj  e o outro até bk ?

FalcolinoSheldon escreveu:Muito obrigado, sua resposta foi bem esclarecedora. Eu só não entendi na \textbf{h} \left[ A \right] e da mesma forma \textbf{h} \left[ B \right]  , o primeiro não seria até aj  e o outro até bk ?

É isso mesmo que você escreveu. Ajustei lá.