Dinâmica da Rotação
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Dinâmica da Rotação
por PedroX Dom 26 Ago 2018, 12:44
Este artigo foi originalmente postado pelo Euclides numa página extra.
Faremos uma abordagem da Dinâmica de Rotação procurando mostrar os conceitos fundamentais e sua analogia com seus equivalentes já conhecidos na Dinâmica de Translação. Os conceitos a seguir deverão estar ao alcance dos estudantes de nível médio que já tenham aprendido a lidar com as Leis de Newton, movimento circular e energia cinética.
Parte 1 - Inércia, Massa e Momento de Inércia
Já aprendemos que a inércia corresponde a uma tendência natural dos corpos para conservar o seu estado de equilíbrio, ou seja, para permanecer no estado de repouso, ou em movimento retilíneo e uniforme, conforme estejam em repouso ou em MRU.
Isto está enunciado na Primeira Lei de Newton, ou Lei da Inércia.
Para produzir uma alteração no estado de inércia de um corpo necessitamos empregar uma força cujo resultado será uma aceleração. Sabemos que essa aceleração será tão maior ou tão menor quanto maior ou menor for a massa do corpo. Eis porque a massa é considerada uma medida da inércia dos corpos.
Este é o conteúdo da Segunda Lei de Newton. No nível médio ela nos é apresentada na forma F=m.a. Veremos depois que Newton a apresentou de outra maneira no seu "Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica".
Os corpos em rotação também possuem inércia e obedecem a segunda lei. Há, porém, na rotação, uma particularidade: a distribuição da massa em relação ao eixo de rotação.
Se você colocar a sua bicicleta com as rodas para cima de modo que possa fazer girar a roda dianteira livremente verá que ela gira de maneira estável e equilibrada. Se, entretanto, você adicionar uma massa em um ponto da sua circunferência e novamente colocá-la para rodar, perceberá que agora ela produz um "solavanco", querendo pender ora para lá, ora para cá. Isso aconteceu porque você alterou a distribuição da massa da roda em relação ao seu eixo de rotação. Uma grandeza chamada "Momento de Inércia" foi alterada e outra grandeza chamada "Momento Angular" mudou de posição.
O que interessa no momento é perceber que o resultado da força que foi empregada (suponhamos a mesma nos dois casos) foi diferente para cada distribuição de massa.
Isso nos indica que no caso da rotação, a inércia não é representada apenas pela massa, mas também pela sua distribuição em relação ao eixo de rotação. Isso recebe o nome de "Momento de Inércia" e, na rotação, representa a inércia do corpo, assim como a massa o faz na translação.
Momento de Inércia de uma partícula em rotação
A figura 2 abaixo mostra a situação em que uma partícula de massa m descreve uma rotação em torno de um eixo descrevendo um círculo de raio r.
A partícula gira com uma velocidade
e logo a sua energia cinética é:
A grandeza
recebe o nome de "Momento de Inércia".
Um corpo rígido pode ser considerado como um conjunto de partículas cujas posições relativas são fixas.
A figura 3 mostra um sistema de partículas em rotação ao redor de um mesmo eixo, mantendo suas posições relativas constantes. O momento de inércia do sistema é a soma dos momentos de inércia de cada partícula:
Para cada distribuição de massa e para cada eixo de rotação teremos um momento de inércia. Esses momentos de inércia são obtidos através do Cálculo integral que expressa de maneira contínua aquele somatório. Na tabela abaixo são fornecidos os momentos de inércia de algumas distribuições de massa:
Parte 2 - Energia cinética de um corpo em rotação e segunda lei de Newton na rotação
Pelo que foi exposto anteriormente a energia cinética de um corpo em rotação será dada por:
Da segunda lei sabemos que uma força faz variar a aceleração de um corpo. A lei aplica-se na rotação:
O disco acima gira em relação a um eixo perpendicular ao plano que o contém e passante pelo centro. Essa rotação se dá pela ação da força F, ou mais propriamente, pelo momento da força F em relação ao centro. Vamos designar esse torque pela letra tau
.
O torque deve, portanto, fazer variar a velocidade angular do disco em proporção à sua inércia:
(a)
em função da aceleração angular ou da aceleração tangencial. De outra forma, vamos agora ver a segunda lei da maneira como Newton a enunciou:
em função da variação do momento linear em relação ao tempo. O momento linear se expressa como
e se estamos supondo uma verdadeira analogia entre as leis da translação e da rotação, deve haver algo equivalente ao momento linear na rotação e, que antecipadamente, vamos dizer que se chama "momento angular".
que é a expressão para o momento angular. Da mesma maneira que o momento linear se conserva na ausência de forças externas, também o momento angular se conserva. Nos dois casos, a variação do momento reflete a ação de uma força externa.
Ainda persistindo na analogia, se a variação do momento linear corresponde à força aplicada, a variação do momento angular deve corresponder ao torque aplicado:
e sendo o momento de inércia constante
a mesma equação (a) que já encontramos anteriormente com um raciocínio diferente.
Parte 3 - Três exemplos de aplicações
Exemplo I: A figura abaixo mostra um disco de massa M e raio r que gira na vertical devido ao corpo de massa m, sob a ação da gravidade. (Encontre o momento de inércia do disco na tabela fornecida).
Calcule:
a) a tração no fio
b) a aceleração do conjunto
Solução:
Da mesma maneira que fazíamos na translação, vamos fazer o equacionamento de corpo isolado para o disco e o bloco.
No disco: A segunda lei aplicada à rotação nos diz que
sendo 
temos 
No bloco:
mas, como
agora a tração é obtida facilmente.
Exemplo II: Uma esfera de massa m e raio r rola sem deslizar (a partir do repouso) por um plano horizontal, impulsionada por uma força F, tangente à sua superfície, que atuou por t s. Calcule sua energia cinética total.
Solução:
o rolamento sem deslizamento é um movimento composto por rotação e translação. Logo devemos encontrar a soma das energias cinéticas de translação e de rolamento.
Vimos que o torque aplicado corresponde a uma variação no momento angular
portanto podemos encontrar a variação da velocidade angular que será a velocidade angular final, já que o movimento se inicia a partir do repouso.
a energia cinética de rotação
a energia cinética de translação é dada pela energia do centro de massa
a energia cinética total
Faremos uma abordagem da Dinâmica de Rotação procurando mostrar os conceitos fundamentais e sua analogia com seus equivalentes já conhecidos na Dinâmica de Translação. Os conceitos a seguir deverão estar ao alcance dos estudantes de nível médio que já tenham aprendido a lidar com as Leis de Newton, movimento circular e energia cinética.
Parte 1 - Inércia, Massa e Momento de Inércia
Já aprendemos que a inércia corresponde a uma tendência natural dos corpos para conservar o seu estado de equilíbrio, ou seja, para permanecer no estado de repouso, ou em movimento retilíneo e uniforme, conforme estejam em repouso ou em MRU.
Isto está enunciado na Primeira Lei de Newton, ou Lei da Inércia.
Para produzir uma alteração no estado de inércia de um corpo necessitamos empregar uma força cujo resultado será uma aceleração. Sabemos que essa aceleração será tão maior ou tão menor quanto maior ou menor for a massa do corpo. Eis porque a massa é considerada uma medida da inércia dos corpos.
Este é o conteúdo da Segunda Lei de Newton. No nível médio ela nos é apresentada na forma F=m.a. Veremos depois que Newton a apresentou de outra maneira no seu "Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica".
Os corpos em rotação também possuem inércia e obedecem a segunda lei. Há, porém, na rotação, uma particularidade: a distribuição da massa em relação ao eixo de rotação.
Se você colocar a sua bicicleta com as rodas para cima de modo que possa fazer girar a roda dianteira livremente verá que ela gira de maneira estável e equilibrada. Se, entretanto, você adicionar uma massa em um ponto da sua circunferência e novamente colocá-la para rodar, perceberá que agora ela produz um "solavanco", querendo pender ora para lá, ora para cá. Isso aconteceu porque você alterou a distribuição da massa da roda em relação ao seu eixo de rotação. Uma grandeza chamada "Momento de Inércia" foi alterada e outra grandeza chamada "Momento Angular" mudou de posição.
O que interessa no momento é perceber que o resultado da força que foi empregada (suponhamos a mesma nos dois casos) foi diferente para cada distribuição de massa.
Isso nos indica que no caso da rotação, a inércia não é representada apenas pela massa, mas também pela sua distribuição em relação ao eixo de rotação. Isso recebe o nome de "Momento de Inércia" e, na rotação, representa a inércia do corpo, assim como a massa o faz na translação.
Momento de Inércia de uma partícula em rotação
A figura 2 abaixo mostra a situação em que uma partícula de massa m descreve uma rotação em torno de um eixo descrevendo um círculo de raio r.
A partícula gira com uma velocidade
A grandeza
Um corpo rígido pode ser considerado como um conjunto de partículas cujas posições relativas são fixas.
A figura 3 mostra um sistema de partículas em rotação ao redor de um mesmo eixo, mantendo suas posições relativas constantes. O momento de inércia do sistema é a soma dos momentos de inércia de cada partícula:
Para cada distribuição de massa e para cada eixo de rotação teremos um momento de inércia. Esses momentos de inércia são obtidos através do Cálculo integral que expressa de maneira contínua aquele somatório. Na tabela abaixo são fornecidos os momentos de inércia de algumas distribuições de massa:
| Elemento | Posição do eixo | Momento de Inércia | Posição do eixo | Momento de Inércia |
| Haste fina (L) | perpendicular ao centro | na extremidade | ||
| Disco | perpendicular ao centro | contendo um diâmetro | ||
| Cilindro | pelo centro, paralelo à geratriz | pelo centro, perpendicular à geratriz | ||
| Esfera | contendo um diâmetro |
Parte 2 - Energia cinética de um corpo em rotação e segunda lei de Newton na rotação
Pelo que foi exposto anteriormente a energia cinética de um corpo em rotação será dada por:
Da segunda lei sabemos que uma força faz variar a aceleração de um corpo. A lei aplica-se na rotação:
O disco acima gira em relação a um eixo perpendicular ao plano que o contém e passante pelo centro. Essa rotação se dá pela ação da força F, ou mais propriamente, pelo momento da força F em relação ao centro. Vamos designar esse torque pela letra tau
O torque deve, portanto, fazer variar a velocidade angular do disco em proporção à sua inércia:
em função da aceleração angular ou da aceleração tangencial. De outra forma, vamos agora ver a segunda lei da maneira como Newton a enunciou:
em função da variação do momento linear em relação ao tempo. O momento linear se expressa como
que é a expressão para o momento angular. Da mesma maneira que o momento linear se conserva na ausência de forças externas, também o momento angular se conserva. Nos dois casos, a variação do momento reflete a ação de uma força externa.
Ainda persistindo na analogia, se a variação do momento linear corresponde à força aplicada, a variação do momento angular deve corresponder ao torque aplicado:
e sendo o momento de inércia constante
a mesma equação (a) que já encontramos anteriormente com um raciocínio diferente.
Parte 3 - Três exemplos de aplicações
Exemplo I: A figura abaixo mostra um disco de massa M e raio r que gira na vertical devido ao corpo de massa m, sob a ação da gravidade. (Encontre o momento de inércia do disco na tabela fornecida).
Calcule:
a) a tração no fio
b) a aceleração do conjunto
Solução:
Da mesma maneira que fazíamos na translação, vamos fazer o equacionamento de corpo isolado para o disco e o bloco.
No disco: A segunda lei aplicada à rotação nos diz que
No bloco:
mas, como
agora a tração é obtida facilmente.
Exemplo II: Uma esfera de massa m e raio r rola sem deslizar (a partir do repouso) por um plano horizontal, impulsionada por uma força F, tangente à sua superfície, que atuou por t s. Calcule sua energia cinética total.
Solução:
o rolamento sem deslizamento é um movimento composto por rotação e translação. Logo devemos encontrar a soma das energias cinéticas de translação e de rolamento.
Vimos que o torque aplicado corresponde a uma variação no momento angular
portanto podemos encontrar a variação da velocidade angular que será a velocidade angular final, já que o movimento se inicia a partir do repouso.
a energia cinética de rotação
a energia cinética de translação é dada pela energia do centro de massa
a energia cinética total
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