ITA 1996 - Progressão Geométrica

por Battini Ter 27 Mar 2018, 20:06

(Ita 1997) Sejam a₁, a₂, a₃ e a₄ números reais formando, nesta ordem, uma progressão geométrica crescente com a₁≠ 0. Sejam x₁, x₂ e x₃ as raízes da equação a₁x³ + a₂x² + a₃x + a₄ = 0. Se x₁ = 2i, então

a) x₁ + x₂ + x₃ = - 2

b) x₁ + x₂ + x₃ = 1

c) x₁² + x₂²+ x₃² = 4

d) x₁ ITA 1996 - Progressão Geométrica 2dd07b8f3f474bf0acf3fda45ca39906

ITA 1996 - Progressão Geométrica 2dd07b8f3f474bf0acf3fda45ca39906

x₂

x₃ = 8

e) x₁ ITA 1996 - Progressão Geométrica 2dd07b8f3f474bf0acf3fda45ca39906

x₂+ x₁

x₃ + x₂

x₃= 5

Boa noite, não consegui desenvolver, não sei o gabarito.

por **Elcioschin** Ter 27 Mar 2018, 20:26

PG ---> a₁, a₂, a₃ e a₄---> Seja q a razão:

PG ---> a₁, a₁.q, a₁.q², a₁.q³

a₁.x³ + a₂.x² + a₃.x + a₄ = 0 ---> a₁.x³ + a₁.q.x² + a₁.q².x + a₁.q³ = 0 ---> : a₁

x³ + q.x² + q².x + q³ = 0 ---> I

Sendo x₁= 2.i uma raiz, outra raiz é x₂= - 2.i (raiz conjugada)

(x - 2.i).(x + 2.i) = x² + 4

Divida o polinômio I por x² + 4 (pelo método da chave). O resto deverá ser nulo e o quociente é um polinômio do 1º grau n.x + p

x₃= - p/n

Complete

por Battini Ter 27 Mar 2018, 20:33

Desculpe a dúvida mestre, mas a divisão do polinômio ocorrerá normal mesmo tendo dois coeficientes? Não estou conseguindo efetuar

por **Elcioschin** Ter 27 Mar 2018, 22:41

Não entendi sua pergunta. O que você quer dizer com "coeficientes diferentes"?

Basta dividir:

x³ + q.x² + q².x + q³ | x² + 4

E depois siga as minhas dicas na minha solução original.