ITA 1996 - Progressão Geométrica

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ITA 1996 - Progressão Geométrica

Mensagem por Battini em Ter 27 Mar 2018, 20:06

(Ita 1997) Sejam a1, a2, a3 e a4 números reais formando, nesta ordem, uma progressão geométrica crescente com a≠ 0. Sejam x1, x2 e x3 as raízes da equação a1x3 + a2x2 + a3x + a4 = 0. Se x1 = 2i, então




a) x1 + x2 + x3 = - 2




b) x1 + x2 + x3 = 1




c) x12 + x22+ x32 = 4




d) x1  x2  x3 = 8




e) x1  x+ x1  x3 + x2  x= 5

 Boa noite, não consegui desenvolver, não sei o gabarito.
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Re: ITA 1996 - Progressão Geométrica

Mensagem por Elcioschin em Ter 27 Mar 2018, 20:26

PG ---> a1, a2, a3 e a---> Seja q a razão:

PG ---> a1, a1.q, a1.q², a1.q³

a1.x3 + a2.x2 + a3.x + a4 = 0 ---> a1.x³ + a1.q.x² + a1.q².x + a1.q³ = 0 ---> : a1


x³ + q.x² + q².x + q³ = 0 ---> I


Sendo x= 2.i uma raiz, outra raiz é x= - 2.i (raiz conjugada)

(x - 2.i).(x + 2.i) = x² + 4

Divida o polinômio I por x² + 4 (pelo método da chave). O resto deverá ser nulo e o quociente é um polinômio do 1º grau n.x + p

x= - p/n

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Re: ITA 1996 - Progressão Geométrica

Mensagem por Battini em Ter 27 Mar 2018, 20:33

Desculpe a dúvida mestre, mas a divisão do polinômio ocorrerá normal mesmo tendo dois coeficientes? Não estou conseguindo efetuar
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Re: ITA 1996 - Progressão Geométrica

Mensagem por Elcioschin em Ter 27 Mar 2018, 22:41

Não entendi sua pergunta. O que você quer dizer com "coeficientes diferentes"?

Basta dividir:

x³ + q.x² + q².x + q³ | x² + 4


E depois siga as minhas dicas na minha solução original.
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Re: ITA 1996 - Progressão Geométrica

Mensagem por Battini em Ter 27 Mar 2018, 22:56

Sim mestre, mas como trabalho com esse q aí?
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Re: ITA 1996 - Progressão Geométrica

Mensagem por Elcioschin em Ter 27 Mar 2018, 23:06

Trate q como um número qualquer (no final você vai calcular q)
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Re: ITA 1996 - Progressão Geométrica

Mensagem por Battini em Ter 27 Mar 2018, 23:25

Compreendi, muito obrigado
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Re: ITA 1996 - Progressão Geométrica

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