(AFA-2009) Função trigonométrica

Considere a função real f: A →  [1,3] definida por  



Sabendo que f é inversível, é correto afirmar que um possível intervalo para o conjunto A é?

a) [∏/3,7∏/3]
b) [4∏/3,  7∏/3]
c) [4∏/3, 10∏/3]
d) [ 7∏/3, 10∏/3]

gabarito:

f(x) = 1.1 - (-2)*sen(x/2-pi/6)

f(x) = 1 + 2(sen(x/2)*cos(pi/6) - cos(x/2)*sen(pi/6))

f(x) = 1 + 2(sen(x/2)*V3/2 - cos(x/2)*1/2)

1 + 2*(sen(x/2)*V3/2 - cos(x/2)*1/2) = 1   ---> A(1,3)

V3/2*sen(x/2) = (1/2)*cos(x/2)

V3*sen(x/2) = cos(x/2)

3*sen²(x/2) = cos²(x/2)

3*sen²(x/2) = 1 - sen²(x/2)

4*sen²(x/2) = 1

sen²(x/2) = 1/4

sen(x/2) = 1/2

x/2 = pi/6 ---> x = pi/3 ou 7pi/3 (2pi + pi/3)


1 + 2*sen(x/2)*V3/2 - cos(x/2)*1/2) = 3 ---> A(1,3)

sen(x/2)*V3/2 - cos(x/2)*1/2 = 1

V3/2*sen(x/2) - 1/2*cos(x/2) = 1

V3*sen(x/2) - cos(x/2) = 2

cos(x/2) = V3*sen(x/2) + 2

V(1-sen²(x/2)) = V3*sen(x/2) + 2

1 - sen²(x/2) = 3*sen²(x/2) + 4*V3*sen(x/2) + 4

4*sen²(x/2) + 4*V3*sen(x/2) + 3 = 0

senx = -V3/2 ---> x/2 = 5pi/3 ---> x = 10pi/3