Discutir equação trigonométrica

por Andre Ampère Qui 15 Mar 2018, 17:44

Discuta, segundo m, a equação:

$senx + cosx = m$

*Resposta: $-\sqrt{2}\leqslant m \leqslant +\sqrt{2}$

*Dúvida: elevando ambos os lados da equação ao quadrado, eu simplesmente encontrei que m é menor ou igual a raiz de dois, porém maior ou igual a zero, qual foi meu erro ?

por **Euclides** Qui 15 Mar 2018, 18:29

Quando você eleva ao quadrado pode perder parte da solução, ou introduzir valores não aceitáveis:

$\\(\sin x+\cos x)^2=m^2\\1+\sin(2x)=m^2\\\sqrt{1+\sin(2x)}=m\;\;\leftarrow \text{o radicando tem a CE de ser positivo}$

o valor máximo, ou mínimo da soma \sin x+\cos x ocorre quando ambos tiverem o mesmo valor \pm\pi/4.

Discutir equação trigonométrica Fig_2

por Andre Ampère Qui 15 Mar 2018, 18:32

Entendi, obrigado Euclides.

por **Giovana Martins** Qui 15 Mar 2018, 18:38

Uma solução alternativa.

Discutir equação trigonométrica Codec423

Nota: Na segunda linha da resolução eu utilizei uma das relações de Prostaférese.

por Andre Ampère Qui 15 Mar 2018, 18:49

Uau, eu nunca ia pensar em resolver dessa forma Giovanna, você é FERA mesmo

por **Giovana Martins** Qui 15 Mar 2018, 19:04

Ah, nada disso. Você certamente pensaria nisso. Essa equação que você postou é bastante conhecida. Quando a gente está iniciando o estudo de trigonometria, inicialmente a gente aprende a resolvê-la relacionando-a com a equação sen²x+cos²x=1 e daí resolve-se o problema, embora dê uma infinidade de contas. Porém, quando você se aprofunda um pouquinho mais no assunto (o Iezzi faz isso) você aprende a resolver esta questão via relações de Prostaférese, as quais resolvem problemas como este de forma muito eficiente.