Duvida em uma questão de taxas relacionadas

por guilherme326 Ter 06 Fev 2018, 16:15

Boa tarde alguém poderia me auxiliar nessa questão.

Uma calha horizontal possui 20 m de comprimento e tem uma secção transversal triangular isósceles de 8 cm de base no topo e 10 cm de profundidade(altura referida a base na parte superior). Devido a uma pesada tempestade, a água em seu interior está se elevando a uma razão de 0.5 cm/min, no instante que está a 5 cm de profundidade. Quão rápido o volume de água em seu interior estará crescendo neste instante?

por **LPavaNNN** Ter 06 Fev 2018, 17:29

considerando um triângulo genérico de altura y e área A, dentro desse triângulo citado como secção trnasversal, por semelhança:

$\frac{10^2}{y^2}=\frac{\frac{10.8}{2}}{A}\\4y^2=10A\\2y^2=5A\\4y\frac{dy}{dt}=5.\frac{dA}{dt}\\\frac{dV}{dt}=\frac{dA}{dt}.l\\\frac{dv}{dt}=\frac{4}{5}y.\frac{dy}{dt}.l\\\frac{dv}{dt}=\frac{4}{5}.5.0,5.20\\\frac{dv}{dt}=40cm^3/min$

outra maneira possível de usar semelhança de triangulo, considerando o triângulo de altura y, e base x:

$\frac{10}{8}=\frac{y}{x}\\x=\frac{4}{5}y\\\frac{dx}{dt}=\frac{4}{5}\frac{dy}{dt}=0,4\\A=\frac{xy}{2}\\2\frac{dA}{dt}=\frac{dx}{dt}.y+x\frac{dy}{dt}=0,4.5+4.5=4\\\frac{dA}{dt}=2cm^2/min\\\frac{dv}{dt}=2.20=40cm^3/min$

ali na segunda resolução usei em dy/dt =5 o que está errado, pois dy/dt=0,5 . No entanto foi erro de digitação, sendo assim, mesmo tendo colocado o valor errado, a conta está feita para o valor certo

Opa, errei ali, n tinha visto que o comprimento era 20 m.

basta colocar em cm.

2000 cm

2000 cm. 2=4000 cm³ min