Quantas prestações?

Uma pessoa compra um automóvel por R$ 50.000,00 financiado a uma taxa de juros de 2,175% a.m., com prestações postecipadas mensais constantes e iguais a R$ 1.500,00. Quantas prestações deverá pagar para que o seu saldo devedor seja $ 32.779,22?

Boa tarde!

Dados:
PV = R$ 50.000,00
i = 2,175% a.m.
PMT = 1.500,00
FV = R$ 32.779,22

Calculando:
\\\displaystyle{PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]+\dfrac{FV}{\left(1+i\right)^n}}\\\\\displaystyle{50\,000=1\,500\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2,175\%\right)^{-n}}{2,175\%}\right]+\dfrac{32\,779,22}{\left(1+2,175\%\right)^n}}\\\\\displaystyle{50\,000=1\,500\cdot\left(\dfrac{1-1,02175^{-n}}{0,02175}\right)+\dfrac{32\,779,22}{1,02175^n}}\\\\\displaystyle{50\,000\cdot 1,02175^n=\dfrac{1\,500}{0,02175}\cdot\left(1,02175^n-1\right)+32\,779,22}\\\\\displaystyle{50\,000\cdot 1,02175^n-\dfrac{1\,500}{0,02175}\cdot 1,02175^n=-\dfrac{1\,500}{0,02175}+32\,779,22}\\\\\displaystyle{1,02175^n=\dfrac{-\dfrac{1\,500}{0,02175}+32\,779,22}{50\,000-\dfrac{1\,500}{0,02175}}}\\\\\displaystyle{\boxed{n\approx 30}}

Para comprovar pode-ser realizar a seguinte conta:
\\\displaystyle{50\,000\cdot 1,02175^{30}-1\,500\cdot\left(\dfrac{1-1,02175^{-30}}{0,02175}\right)=32\,779,22}

Espero ter ajudado!

Baltuilhe, sua resposta está correta, mas eu usaria outro caminho.

Equação do saldo devedor, após o pagamento da n-ésima parcela, cuja fórmula está aqui https://pir2.forumeiros.com/t143871-formulario (fórmula 4.1):

\boxed{S_n = PV \cdot (1+i)^{n} - PMT \cdot \frac{(1+i)^{n} -1}{i}}

onde:

PV = 50000
i = 2,175% a.m
PMT = 1500
S_n = 32779,22 (saldo devedor após a n-ésima parcela)
n = ?

Substituindo valores:

32779,22 = 50000 \cdot (1+0,02175)^{n} - 1500 \cdot \frac{(1+0,02175)^{n} -1}{0,02175}

712,948035 = 1087,5 \cdot (1,02175)^{n}-1500\cdot[(1,02175)^{n}-1]

712,948035 = 1087,5 \cdot (1,02175)^{n}-1500\cdot(1,02175)^{n}+1500

412,5\cdot (1,02175)^{n} = 787,051965

(1,02175)^{n} = \frac{ 787,051965}{412,5}

n = 30,02568991

\boxed{n \approx 30}

baltuilhe escreveu:Boa tarde!

Dados:
PV = R$ 50.000,00
i = 2,175% a.m.
PMT = 1.500,00
FV = R$ 32.779,22

Calculando:
\\\displaystyle{PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]+\dfrac{FV}{\left(1+i\right)^n}}\\\\\displaystyle{50\,000=1\,500\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2,175\%\right)^{-n}}{2,175\%}\right]+\dfrac{32\,779,22}{\left(1+2,175\%\right)^n}}\\\\\displaystyle{50\,000=1\,500\cdot\left(\dfrac{1-1,02175^{-n}}{0,02175}\right)+\dfrac{32\,779,22}{1,02175^n}}\\\\\displaystyle{50\,000\cdot 1,02175^n=\dfrac{1\,500}{0,02175}\cdot\left(1,02175^n-1\right)+32\,779,22}\\\\\displaystyle{50\,000\cdot 1,02175^n-\dfrac{1\,500}{0,02175}\cdot 1,02175^n=-\dfrac{1\,500}{0,02175}+32\,779,22}\\\\\displaystyle{1,02175^n=\dfrac{-\dfrac{1\,500}{0,02175}+32\,779,22}{50\,000-\dfrac{1\,500}{0,02175}}}\\\\\displaystyle{\boxed{n\approx 30}}

Para comprovar pode-ser realizar a seguinte conta:
\\\displaystyle{50\,000\cdot 1,02175^30-1\,500\cdot\left(\dfrac{1-1,02175^{-30}}{0,02175}\right)=32\,779,22}

Espero ter ajudado!

Baltuilhe, resposta certa, tudo muito bom, tubo muito bem. Só não entendi esta fórmula:

PV = PMT\cdot \left[ \frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \right] + \frac{FV}{(1+i)^n}

Poderia explicar pormenorizadamente?

Obg.

Luiz 2017 escreveu:

baltuilhe escreveu:Boa tarde!

Dados:
PV = R$ 50.000,00
i = 2,175% a.m.
PMT = 1.500,00
FV = R$ 32.779,22

Calculando:
\\\displaystyle{PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]+\dfrac{FV}{\left(1+i\right)^n}}\\\\\displaystyle{50\,000=1\,500\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2,175\%\right)^{-n}}{2,175\%}\right]+\dfrac{32\,779,22}{\left(1+2,175\%\right)^n}}\\\\\displaystyle{50\,000=1\,500\cdot\left(\dfrac{1-1,02175^{-n}}{0,02175}\right)+\dfrac{32\,779,22}{1,02175^n}}\\\\\displaystyle{50\,000\cdot 1,02175^n=\dfrac{1\,500}{0,02175}\cdot\left(1,02175^n-1\right)+32\,779,22}\\\\\displaystyle{50\,000\cdot 1,02175^n-\dfrac{1\,500}{0,02175}\cdot 1,02175^n=-\dfrac{1\,500}{0,02175}+32\,779,22}\\\\\displaystyle{1,02175^n=\dfrac{-\dfrac{1\,500}{0,02175}+32\,779,22}{50\,000-\dfrac{1\,500}{0,02175}}}\\\\\displaystyle{\boxed{n\approx 30}}

Para comprovar pode-ser realizar a seguinte conta:
\\\displaystyle{50\,000\cdot 1,02175^30-1\,500\cdot\left(\dfrac{1-1,02175^{-30}}{0,02175}\right)=32\,779,22}

Espero ter ajudado!

Baltuilhe, resposta certa, tudo muito bom, tubo muito bem. Só não entendi esta fórmula:

PV = PMT\cdot \left[ \frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \right] + \frac{FV}{(1+i)^n}

Poderia explicar pormenorizadamente?

Obg.

Boa noite, Luiz!

Simples mudança de data focal. Para resolver de forma diferente

Sua fórmula atualiza os valores até a data focal 'n' para descobrir o valor do saldo devedor... já na minha proposição procurei calcular 'quando' a dívida ficaria naquele valor trazendo o fluxo de caixa 'inteiro' para a data zero.
Na prática, as duas fórmulas são equivalentes... multiplique a fórmula que utilizei por (1+i)^n e leve o termo que tem o PMT para o lado 'esquerdo' e verá que FV se tornará o saldo devedor de sua fórmula

Abraços!

baltuilhe escreveu:

Luiz 2017 escreveu:

baltuilhe escreveu:Boa tarde!

Dados:
PV = R$ 50.000,00
i = 2,175% a.m.
PMT = 1.500,00
FV = R$ 32.779,22

Calculando:
\\\displaystyle{PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]+\dfrac{FV}{\left(1+i\right)^n}}\\\\\displaystyle{50\,000=1\,500\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2,175\%\right)^{-n}}{2,175\%}\right]+\dfrac{32\,779,22}{\left(1+2,175\%\right)^n}}\\\\\displaystyle{50\,000=1\,500\cdot\left(\dfrac{1-1,02175^{-n}}{0,02175}\right)+\dfrac{32\,779,22}{1,02175^n}}\\\\\displaystyle{50\,000\cdot 1,02175^n=\dfrac{1\,500}{0,02175}\cdot\left(1,02175^n-1\right)+32\,779,22}\\\\\displaystyle{50\,000\cdot 1,02175^n-\dfrac{1\,500}{0,02175}\cdot 1,02175^n=-\dfrac{1\,500}{0,02175}+32\,779,22}\\\\\displaystyle{1,02175^n=\dfrac{-\dfrac{1\,500}{0,02175}+32\,779,22}{50\,000-\dfrac{1\,500}{0,02175}}}\\\\\displaystyle{\boxed{n\approx 30}}

Para comprovar pode-ser realizar a seguinte conta:
\\\displaystyle{50\,000\cdot 1,02175^30-1\,500\cdot\left(\dfrac{1-1,02175^{-30}}{0,02175}\right)=32\,779,22}

Espero ter ajudado!

Baltuilhe, resposta certa, tudo muito bom, tubo muito bem. Só não entendi esta fórmula:

PV = PMT\cdot \left[ \frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \right] + \frac{FV}{(1+i)^n}

Poderia explicar pormenorizadamente?

Obg.

Boa noite, Luiz!

Simples mudança de data focal. Para resolver de forma diferente

Sua fórmula atualiza os valores até a data focal 'n' para descobrir o valor do saldo devedor... já na minha proposição procurei calcular 'quando' a dívida ficaria naquele valor trazendo o fluxo de caixa 'inteiro' para a data zero.
Na prática, as duas fórmulas são equivalentes... multiplique a fórmula que utilizei por (1+i)^n e leve o termo que tem o PMT para o lado 'esquerdo' e verá que FV se tornará o saldo devedor de sua fórmula

Abraços!

Baltuilhe, vou fazer o que me diz, multiplicando sua fórmula por (1+i)ⁿ:

PV = PMT\cdot \left[ \frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \right] + \frac{FV}{(1+i)^n}

PV\cdot(1+i)^n = PMT\cdot \left[ \frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \right]\cdot (1+i)^n + \frac{FV}{(1+i)^n} \cdot(1+i)^n

PV\cdot(1+i)^n= PMT\cdot \left[ \frac{(1+i)^n -1}{i} \right] + FV

PV\cdot(1+i)^n - PMT\cdot \left[ \frac{(1+i)^n -1}{i} \right] = FV

Pronto, e daí? (editei e retifiquei)

Luiz 2017 escreveu:

baltuilhe escreveu:

Luiz 2017 escreveu:

baltuilhe escreveu:Boa tarde!

Dados:
PV = R$ 50.000,00
i = 2,175% a.m.
PMT = 1.500,00
FV = R$ 32.779,22

Calculando:
\\\displaystyle{PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]+\dfrac{FV}{\left(1+i\right)^n}}\\\\\displaystyle{50\,000=1\,500\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2,175\%\right)^{-n}}{2,175\%}\right]+\dfrac{32\,779,22}{\left(1+2,175\%\right)^n}}\\\\\displaystyle{50\,000=1\,500\cdot\left(\dfrac{1-1,02175^{-n}}{0,02175}\right)+\dfrac{32\,779,22}{1,02175^n}}\\\\\displaystyle{50\,000\cdot 1,02175^n=\dfrac{1\,500}{0,02175}\cdot\left(1,02175^n-1\right)+32\,779,22}\\\\\displaystyle{50\,000\cdot 1,02175^n-\dfrac{1\,500}{0,02175}\cdot 1,02175^n=-\dfrac{1\,500}{0,02175}+32\,779,22}\\\\\displaystyle{1,02175^n=\dfrac{-\dfrac{1\,500}{0,02175}+32\,779,22}{50\,000-\dfrac{1\,500}{0,02175}}}\\\\\displaystyle{\boxed{n\approx 30}}

Para comprovar pode-ser realizar a seguinte conta:
\\\displaystyle{50\,000\cdot 1,02175^30-1\,500\cdot\left(\dfrac{1-1,02175^{-30}}{0,02175}\right)=32\,779,22}

Espero ter ajudado!

Baltuilhe, resposta certa, tudo muito bom, tubo muito bem. Só não entendi esta fórmula:

PV = PMT\cdot \left[ \frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \right] + \frac{FV}{(1+i)^n}

Poderia explicar pormenorizadamente?

Obg.

Boa noite, Luiz!

Simples mudança de data focal. Para resolver de forma diferente

Sua fórmula atualiza os valores até a data focal 'n' para descobrir o valor do saldo devedor... já na minha proposição procurei calcular 'quando' a dívida ficaria naquele valor trazendo o fluxo de caixa 'inteiro' para a data zero.
Na prática, as duas fórmulas são equivalentes... multiplique a fórmula que utilizei por (1+i)^n e leve o termo que tem o PMT para o lado 'esquerdo' e verá que FV se tornará o saldo devedor de sua fórmula

Abraços!

Baltuilhe, vou fazer o que me diz, multiplicando sua fórmula por (1+i)ⁿ:

PV = PMT\cdot \left[ \frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \right] + \frac{FV}{(1+i)^n}

PV\cdot(1+i)^n = PMT\cdot \left[ \frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \right]\cdot (1+i)^n + \frac{FV}{(1+i)^n} \cdot(1+i)^n

PV\cdot(1+i)^n= PMT\cdot \left[ \frac{(1+i)^n -1}{i} \right]\cdot (1+i)^n + FV

PV\cdot(1+i)^n - PMT\cdot \left[ \frac{(1+i)^n -1}{i} \right]\cdot (1+i)^n = FV

Pronto, e daí?

Luiz,

Vou montar a equação conforme falei aproveitando o que escreveu.

PV = PMT\cdot \left[ \frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \right] + \frac{FV}{(1+i)^n}

PV\cdot(1+i)^n = PMT\cdot \left[ \frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \right]\cdot (1+i)^n + \frac{FV}{(1+i)^n} \cdot(1+i)^n

PV\cdot(1+i)^n= PMT\cdot \left[ \frac{(1+i)^n -1}{i} \right] + FV

PV\cdot(1+i)^n - PMT\cdot \left[ \frac{(1+i)^n -1}{i} \right] = FV

Agora ficou certo Abraços!

Editei e retifiquei meu texto acima.

Ok. S_n = FV.

Luiz,

Isso é que interessante neste tema! A data focal pode ser qualquer uma! E há muitas formas de se 'raciocionar' financeiramente para chegar em uma resposta! Por isso gosto tanto dessa matéria!
Abraços!

Baltuilhe, como diria o esquartejador, vamos por partes:

Por definição o saldo de um financiamento num determinado instante "n" é igual ao valor do financiamento no instante "n", subtraído do montante dos pagamentos realizadas até o mesmo instante "n".

Ou seja, independente de data focal, saldo devedor num determinado momento é igual o valor da dívida naquele momento subtraído do valor que já foi pago até o mesmo momento.

Não compreendi completamente qual a construção algébrica que você fez, mas saldo não é a mesma coisa que montante ou valor futuro!!

Sds.