Sequência de potências

por Augusto H. Ter 16 Jan 2018, 07:54

(UFRGS) Considere o número complexo z = -√2/2 (1+i) e a sequência z,z²,z^3,z^4.... . O número de termos distintos dessa sequência é:

a)4
b)5
c)6
d)7
e)8 X

Tenho que fazer as 8 potências pela forma trigonométrica?

por marcelo-jr Ter 16 Jan 2018, 09:54

Augusto H. escreveu:(UFRGS) Considere o número complexo z = -√2/2 (1+i) e a sequência z,z²,z^3,z^4.... . O número de termos distintos dessa sequência é:

a)4
b)5
c)6
d)7
e)8 X

Tenho que fazer as 8 potências pela forma trigonométrica?

por marcelo-jr Ter 16 Jan 2018, 09:55

Colocando na forma trigonométrica fica (cos(5pi/4) + isen(5pi/4)) ----> note que isso elevado a n da : (cos n.(5pi/4) + isen n.(5pi/4) ) agora é só ir substituindo até formar um ciclo completo. n = 1,2,3,4... 5pi/4, 2pi/4, 7pi/4, pi, pi/4, 6pi/4, 3pi/4, 2pi, 5pi/4.
note que um ciclo completo vai de 5pi/4 até 2pi então tem 8 termos distintos.

por evandronunes Ter 16 Jan 2018, 10:08

A forma trigonométrica será z = cos (225^{\circ}) + i.sen (225^{\circ}).

Assim, temos que z^n = cos (n.225^{\circ}) + i.sen (n.225^{\circ}), com n natural.

Observe a relação entre o argumento obtido na potência e o seu argumento principal.

\begin{array} {|c|c|c|} \hline z^n & Argumento & Argumento \ Principal\\ \hline z^0 & 0^{\circ} & 0^{\circ} \\ \hline z^1 & 225^{\circ} & 225^{\circ} \\ \hline z^2 & 450^{\circ} & 90^{\circ} \\ \hline z^3 & 675^{\circ} & 315^{\circ} \\ \hline z^4 & 900^{\circ} & 180^{\circ} \\ \hline z^5 & 1125^{\circ} & 45^{\circ} \\ \hline z^6 & 1350^{\circ} & 270^{\circ} \\ \hline z^7 & 1575^{\circ} & 135^{\circ} \\ \hline z^8 & 1800^{\circ} & 0^{\circ} \\ \hline z^9 & 2025^{\circ} & 225^{\circ} \\ \hline \end{array}

Portanto, a partir de n = 8 os valores se repetem. Logo existem apenas 8 valores.

por marcelo-jr Ter 16 Jan 2018, 10:13

evandronunes escreveu:A forma trigonométrica será z = cos (225^{\circ}) + i.sen (225^{\circ}).

Assim, temos que z^n = cos (n.225^{\circ}) + i.sen (n.225^{\circ}), com n natural.

Observe a relação entre o argumento obtido na potência e o seu argumento principal.

\begin{array} {|c|c|c|} \hline z^n & Argumento & Argumento \ Principal\\ \hline z^0 & 0^{\circ} & 0^{\circ} \\ \hline z^1 & 225^{\circ} & 225^{\circ} \\ \hline z^2 & 450^{\circ} & 90^{\circ} \\ \hline z^3 & 675^{\circ} & 315^{\circ} \\ \hline z^4 & 900^{\circ} & 180^{\circ} \\ \hline z^5 & 1125^{\circ} & 45^{\circ} \\ \hline z^6 & 1350^{\circ} & 270^{\circ} \\ \hline z^7 & 1575^{\circ} & 135^{\circ} \\ \hline z^8 & 1800^{\circ} & 0^{\circ} \\ \hline z^9 & 2025^{\circ} & 225^{\circ} \\ \hline \end{array}

Portanto, a partir de n = 8 os valores se repetem. Logo existem apenas 8 valores.

evandronunes, Tem razão eu errei nos meus cálculos.