Lugar Geométrico l.g.

São dados os pontos O(0,0), A(2,0) e B(0,-2) e considera-se uma reta variável A'B' paralela a AB. Determine o l.g. dos pontos I de interseção das retas variáveis AB' e A'B, sabendo que B' pertence a OB e A' pertence a OA. 





Questão retirada do livro, fundamentos de matemática elementar do autor Gelson Iezzi, Geometria analítica Vol.7 edição 6
pagina 202. questão 435.

creio que para resolver este exercício eu tenha que primeiro desenha-lo, porém não estou conseguindo imaginar o correto, eu acho, se alguem puder ajudar obrigado.

Resposta a seguir: (x+y)(x-y-2)=0

AB -----> y = x - 2

A'B' ----> y = x + c

OB -----> x = 0 ----> B'(0, m)

OA -----> y = 0 ----> A'(n, 0)

A' e B' pertencem a A'B' ----> m = c, 0 = n + c ---> c = m = -n

AB' passa por (2, 0) e (0, c) ----> AB': y = -cx/2 + c
A'B passa por (0, -2) e (-c, 0) --> A'C: y = -2x/c - 2

-cx/2 + c = -2x/c - 2
-c²x + 2c² = -4x - 4c
c = 2x/(x-2)

y = -x²/(x-2) + 2x/(x-2)
y(x-2) = -x(x - 2)
(y+x)(x-2) = 0

Estou sem tempo agora, confira aí o raciocínio e as contas...

aparentemente, houve algum erro na hora de encontrar o valor de C. Mas eu entendi perfeitamente o raciocínio. porém me restaram dúvidas para a conclusão da questão, será que você poderia me ajudar a entender?

para C eu achei os valores 

c'= 2x/(2-x)   e  c''= {2(2-x)}/(2-x)

substituindo esses valores na equação AB': eu encontrei como resposta
y= -(x-2)²/(x-2)    e y= x(2-x)/(2-x)

eu não sei se posso "cortar" esses (x-2) dos numeradores e denominadores, e não sei se esse é o caminho para atingir a resposta da questão, que é (x+y)(x-y-2)=0
se puder ajudar eu agradeço

Tem que analisar o LG para x = 2. Se pertencer ao LG, pode cortar. Do contrário, o denominador indicará que x = 2 não pertence, e é mantido pra mostrar que não podemos ter esse valor como input. É que estou no celular e não desenhei nada, mas pelo que tô imaginando aqui, o caso x = 2 é o caso em que a reta A'B' coincide com AB, o que não é absurdo (podemos considerar a reta paralela a ela mesma). Então, não tem problema e pode cortar.

então depois de corta-las minha resposta será:
y= x-2          e   y=-x
ai eu as igualo a zero e as multiplico?
ficando 
(x-y-2)(y+x)=0?

se for isso, porque eu multiplico as respostas? essa parte eu não entendo

Veja que, estando tudo correto,
y - x + 2 = 0
e
y + x = 0
formam o conjunto solução. Isto é, qualquer valor que satisfaz pelo menos uma das equações é uma resposta. Para juntar tudo numa resposta só, precisamos encontrar uma expressão que tenha o mesmo conjunto solução.
(x - y - 2)(y + x) = 0 é uma equação que possui o mesmo conjunto solução que o seu problema. Por isso, pode-se multiplicar. É apenas uma "questão de estética".

ataa, eu sempre via as respostas assim, mas não tinha certeza do porque, muito obrigado pela ajuda