Inducao e Morgan

por Ronaldo Miguel Qui 03 Ago 2017, 14:46

Mostre que se A1, ..., An são conjuntos, então (A1 ∩...∩ An)^c = A^c 1 ∩...∩ A^c n (Esta é uma generalização da Lei de De Morgan para associação de n conjuntos. Use a Lei de De Morgan para dois conjuntos ((A ∩ B)^c = A^c U B^c ) e indução para provar esse resultado.

por **Victor011** Qui 03 Ago 2017, 22:34

\\\bullet\;\text{base indutiva:}\;(n=2)\\\\(A_1\cap A_2)^{c}=A_1^{c}\cup A_2^{c}\;\;\text{(lei de Morgan para dois termos)}\\\\\bullet\;\text{hip\'otese indutiva:\;(vamos supor que vale para um n=k)}\\\\(A_1\cap A_2\cap...\cap A_k)^{c}=A_1^{c}\cup A_2^{c}\cup...\cup A_k^{c} \\\\\bullet\;\text{passo indutivo: (mostrar que tem que valer para n=k+1)}\\\\\text{vamos considerar que:}\\\\B_{K}=A_1\cap A_2\cap...\cap A_k\\\\B_{K}^{c}\cup A_{K+1}^{c}=(B_{k}\cap A_{K+1})^{c}\\\\(A_1\cap A_2\cap...\cap A_k)^{c}\cup A_{K+1}^{c}=(A_1\cap A_2\cap...\cap A_k\cap A_{K+1})^{c}\\\\A_1^{c}\cup A_2^{c}\cup...\cup A_k^{c}\cup A_{K+1}^{c}=(A_1\cap A_2\cap...\cap A_k\cap A_{K+1})^{c} \;\text{(vale para n=k+1)}\\\\\text{logo, pelo princ\'ipio de indu\c{c}\~ao finita, a f\'ormula \'e v\'alida}\;\forall\;n\in\mathbb{N}.

por Ronaldo Miguel Sex 04 Ago 2017, 15:25

MUITO OBRIGADO CARA !! TU 'E SHOW DE BOLA

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