Fuvest 2004 - Lei dos cossenos

por _danielgnr Qua 12 Jul 2017, 21:57

Olá a todos, estou com uma duvida nesse exercicio aqui, não consigo achar o meu erro.

Um triângulo ABC tem lados de comprimento AB=5, BC=4 e AC=2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determinar o comprimento de MN.
Gab: 11/30

Seja este então o triangulo:
Fuvest 2004 - Lei dos cossenos Untitled

Como CM é bissetriz podemos dizer que AC está para AM assim como CB está BM, logo fazendo AM = y, 2/y = 4/ 5 - y => y = 5/3, portanto BM = 10/3
Com isso podemos dizer que o cosseno do angulo C^BA = a, é igual a BN/BC = (10/3 + x)/4 = (10 + 3x)/12
porém tambem podemos pela lei dos cossenos dizer que CA²= AB² + BC² - 2.AB.BC.Cos a, portanto 4 = 16 + 25 - 2.4.5.cos a,
logo 40.cos a = 45 => cos a = 9/8
porém cos a também é igual a (10 + 3x)/12
logo (10 + 3x)/12 = 9/8
com isso x = 7/6
aonde está o erro?

fiz exatamente o mesmo processo só que com o triangulo ACN e o cosseno de C^AN e deu o resultado do gabarito

por **Elcioschin** Qua 12 Jul 2017, 22:20

Seu erro:

cos(C^BA) = BN/BC (e não BC/BN)

por _danielgnr Qua 12 Jul 2017, 22:22

eu corrigi esse erro mestre, foi só de digitação, note que na hora de operar coloquei 10/3 + x / 4

por **Victor011** Qua 12 Jul 2017, 22:32

"porém tambem podemos pela lei dos cossenos dizer que CA²= AB² + BC² - 2.AB.BC.Cos a, portanto 4 = 16 + 25 - 2.4.5.cos a,
logo 40.cos a = 37 => cos a = 37/40
porém cos a também é igual a (10 + 3x)/12
logo (10 + 3x)/12 = 37/40
com isso x = 11/30"