Problemas Selectos 223

Determine os valores para o parâmetro a para que a equação tenha pelo menos duas raízes positivas.


A)

B)

C)

D)

E)

GABARITO:

"x^4 - ax^3 + (a+2)x^2 - ax + 10"

Para a = 4 só teremos raízes imaginárias
Para a = ± 2 também só teremos raízes imaginárias

Ou a resposta é a letra "c" ou a equação está digitada errada.

Ajeitei agora, botei 1 - 0 no codecogs ao invés de 1 = 0 e apareceu 10

Dividindo por x²:


Fazendo 









As raízes de  serão as mesma raízes que  e .

Primeiros temos que impor a condição para que os coeficientes sejam todos reais, para isso devemos ter:
a² - 4a ≥ 0
a ≤ 0 ou a ≥ 4

Agora vamos analisar as equações encontradas.
Lembrando que o enunciado disse que devemos ter pelo menos duas raízes positivas.
Perceba que para a ≤ 0 nós não teremos nenhuma raiz positiva, com isso os possíveis valores poderão ser para a ≥ 4.

Vamos analisar a primeira equação:



Facilmente percebemos que:


Portanto para que as duas raízes da primeira equação sejam positivas basta que  , e isso é satisfeito para valores de a ≥ 4, que é a mesma condição dada anteriormente.

Com isso, para valores de a ≥ 4 iremos ter pelo menos duas raízes positivas.


É bem simples mostrar que a não poder ser menor ou igual a 0. Basta analisar as raízes das equações encontradas.
Na segunda equação iremos ter:

Sendo a ≤ 0 iremos ter  e sendo  iremos ter . Portanto as duas raízes serão negativas.

Agora nas raízes da primeira, com a menor ou igual a zero, ou seja, ele será igual a -k (a = -k):



Analisando a condição para que tenhamos  devemos ter k ≤ -4, ou seja, a ≥ 4, porém eu tinha imposto que a é menor ou igual a zero, dessa forma não temos valores para a de tal forma que , portanto iremos as raízes serão imaginárias.
Dessa forma não iremos obter pelo menos duas raízes positivas.

É... eu fiz assim. Qualquer dúvida é só perguntar.