Questão da apostila Poliedro Matemática

Não consegui resolver esta questão do Livro 1 - capítulo 2 - pág. 105. - Solicito ajuda, por favor.

Determine os valores de n para os quais n^4+4^n é um número primo.

Para n par não existe solução (0⁴ + 4⁰ = 1: 1 não é primo).

Para n < 0 não existe solução pois 4ⁿ não será inteiro.

Só existe, pois chance para n ímpar

Uma solução óbvia: n = 1 ---> 1⁴ + 4¹ = 5 ---> primo
n = 3 ---> 3⁴ + 4³ = 81 + 64 = 145 = 5.25 ---> não é primo
n = 5 ---> 5⁴ + 4⁵ + = 625 + 1024 = 1649 = 17.27 ---> não é primo

Não consegui desenvolver uma prova matemática para saber se existem outros primos.
Os demais primos, acima de 7, terminam em 1, 3, 7, 9

Muito obrigado Mestre. Tenha uma boa
 noite!

Continuando a análise

1) Todo número terminado em 1, 3, 7, 9, elevado ao expoente 4, termina em 1:

11⁴ = 14641 ---> 3⁴ = 81 ---> 7⁴ = 2401 ---> 9⁴ = 6561

2) O número 4, elevado a qualquer expoente n inteiro, resulta sempre em número par; se o expoente n for ímpar, ele termina em 4: 4³ = 64 ---> 4⁵ = 1024

Queremos: n⁴ + 4ⁿ = primo

Já analisamos para n = 0 e n = 1:

0⁴ + 4⁰ = 1 ---> não é primo
1⁴ + 4¹ = 5 ---> primo

Vamos agora analisar para n ≥ 2

a) Se n = par ---> par⁴ = par ---> somado com 4^par = par obtemos um número par maior que 2, logo não obteremos um primo.

Conclusão para obtermos um número primo, n deve ser ímpar.

c) Se n termina em 1, 3, 7, 9 ---> n⁴ termina em 1 e 4ⁿ termina em 4 e a soma termina em 5, logo não obtemos um primo.

d) Falta agora provar que, se n termina em 5 a soma obtida não resulta num primo:

Para n = 5 ---> 5⁴ + 4⁵ = 1649 = 17.97 ---> não é primo.

Falta portanto, provar para n = 15, 25, 35, ... etc.