Álgebra - suponha

por RamonLucas Ter 27 Dez 2016, 20:22

Suponha que a+b=3 e a^2+b^2=7

Calcule a^4+b^4

Gabarito: 47

por **Elcioschin** Ter 27 Dez 2016, 20:29

a² + b² = 7

a + b = 3 ---> (a + b)² = 3² ---> a² + b² + 2.a.b = 9 ---> 7 + 2.a.b = 2 ---> a.b = 1

(a² + b²)² = 7² ---> a⁴ + b⁴ + 2.a².b² = 49 ---> a⁴ + b⁴ + 2.(a.b)² = 49 ---> a⁴ + b⁴ + 2 = 49 ---> a⁴ + b⁴ = 47

por Matemathiago Ter 27 Dez 2016, 20:37

a² + 2ab + b² = 9
a² + b² = 7

2ab = 2
ab = 1

(a+b)^4 = 81= (a² + 2ab + b²)² = a^4 + 2a³b + a²b² + 2a³b + 4a²b² + 2ab³ + a²b² + 2ab³ + b^4 = a^4 + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b^4
=a^4+b^4 + ab (4a² + 6ab + 4b²) = a^4+b^4 + 4a² + 6ab + 4b² = a^4+b^4 + ab 4a² + 6 + 4b² = a^4 + b^4 + 6 + 4 (a² + b²) = a^4 + b^4 + 6 + 28 = a^4 + b^4 + 34 = 81

Portanto:
a^4 + b^4 = 47

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