ANÁLISE COMBINATÓRIA

por Nickponce309 Sex 09 Dez 2016, 01:41

Distribuimos 10 moedinhas idênticas a 5 meninos e 3 meninas, de modo que cada uma das meninas ganhe pelo menos uma moedinha (mas, não exigimos essa mesma coisa para os meninos). De quantas maneiras isso pode ser feito?

Obs: Não sei a resposta do problema.

por Samuel Leite Sáb 10 Dez 2016, 16:49

Esse problema está relacionado à combinação completa, em que trabalhamos com eventuais repetições e nulidades, sem levar em conta a ordenação. Poderíamos resolver tudo de maneira intuitiva e usando fórmulas logo de início, mas irei primeiro montar a situação, e então mostrar como a combinação completa se aplica.

Inicialmente, representamos cada menino e menina com uma incógnita, que representa o número de moedas que ele recebe:

$m_{o1}+m_{o2}+m_{o3}+m_{o4}+m_{o5}+m_{a1}+m_{a2}+m_{a3}=10$

O nosso método de calcular as possibilidades funciona para uma equação em que todas as incóginitas obedecem o seguinte: $0\leq m_{n}\leq n$ , em que $n$ representa o resultado da equação (não confunda o "n" índice com o "n" valor). Entretanto, temos que $1\leq m_{a1},m_{a2},m_{a3}$ .

Desse modo, teremos de prosseguir utilizando uma substituição de variáveis (intuitivamente poderíamos subtrair 3 do resultado da equação e prosseguir com a resolução, mas façamos de modo mais formal no intuito de apresentar uma resposta mais "completa"). Se $1\leq m_{an}\therefore 0\leq m_{an}-1$ , digamos que $m_{an}-1=m_{an}'\therefore 0\leq m_{an}'$ e então $m_{an}=m_{an}'+1$ .

Assim, temos uma incógnita válida agora, e como função da nossa incógnita anterior. Substituindo $m_{an}$ na equação, vem que:

$m_{o1}+m_{o2}+m_{o3}+m_{o4}+m_{o5}+m_{a1}'+1+m_{a2}'+1+m_{a3}'+1=10\therefore m_{o1}+m_{o2}+m_{o3}+m_{o4}+m_{o5}+m_{a1}'+m_{a2}'+m_{a3}'=7$

Agora temos uma equação que se adéqua ao nosso método mais simples de resolução com combinação completa: para $p$ incógnitas inteiras e maiores ou iguais a zero, com um resultado $n$ inteiro e positivo, temos que o número de soluções da equação é dado pela seguinte fórmula:

$P_{n+p-1}^{n,p-1}=\frac{(n+p-1)!}{n!(p-1)!}$

(Que pode ser entendida de forma intuitiva transformando os sinais de mais em barras e o resultado da equação em bolinhas, os espaços entre as barras são as incógnitas e cada solução da equação é uma permutação entre as barras e as bolinhas. Certamente existe algum vídeo com uma explicação mais completa que a minha, basta pesquisar.)

Temos que $n=7$ e $p=8$ , portanto nossa resposta é:

$P_{8+7-1}^{7,7}=\frac{14!}{7!7!}=3432$

Assim, tendo como certo que cada menina tem pelo menos uma moeda, que os meninos podem não ter moedas, podemos organizar as 10 moedas entre eles de 3432 maneiras!