[Geometria - Fuvest]

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Mensagem por vinidf em Qua Ago 31 2016, 16:29

(Fuvest) Em uma semi-circunferência de centro C e raio R, inscreve-se um triângulo equilátero ABC. Seja D o ponto onde a bissetriz do ângulo A intercepta a semi-circunferência. Cˆ B O comprimento da corda AD é: R: R.V/(2 - V/3)




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Como eu tentei fazer:
Como o triângulo é equilátero e angulo de C é cortado por uma bissetriz, logo no triângulo ACD, C=30graus, A=60 e D=90. Pela fórmula dos senos, temos que AD/sen30=DA/sen90. Sendo DA o raio, logo AD seria 1/2.R mas não bate com o resultado. Onde que eu o raciocínio está errado? Obrigado, boa tarde.

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Re: [Geometria - Fuvest]

Mensagem por Elcioschin em Qua Ago 31 2016, 17:16

Seus erros: D NÃO está sobre a corda AB (e sim no arco AB) e DA NÃO é o raio

Seja M o ponto médio de AB: M é o ponto de encontro de AB com CD.
Trace a corda AD (pedida no enunciado).

No triângulo CAM ---> AM = CA.cosCÂM ---> AM = R.cos60º ---> AM = R/2

CM = AM.cosA^CD ---> CM = R.cos30º ---> CM = R.√3/2

No triângulo AMD ---> AD² = AM² + MD² ---> AD² = AM² + (CD - CM)² --->

AD² = (R/2)² + (R - R.√3/2)² ---> AD² = R²/4 + R² - R².√3 + 3.R²/4 --->

AM² = 2.R² - R².√3 ---> AM² = R².(2 - √3) --> AM = R.√(2 - √3)
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Re: [Geometria - Fuvest]

Mensagem por vinidf em Qua Ago 31 2016, 19:23

Nossa, que bola fora minha!! Tenho muita falta de atenção... obrigado, camarada Smile

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