[Geometria - Fuvest]

por vinidf 31/8/2016, 4:29 pm

(Fuvest) Em uma semi-circunferência de centro C e raio R, inscreve-se um triângulo equilátero ABC. Seja D o ponto onde a bissetriz do ângulo A intercepta a semi-circunferência. Cˆ B O comprimento da corda AD é: R: R.V/(2 - V/3)

[Geometria - Fuvest] Wqwq6p

Como eu tentei fazer:
Como o triângulo é equilátero e angulo de C é cortado por uma bissetriz, logo no triângulo ACD, C=30graus, A=60 e D=90. Pela fórmula dos senos, temos que AD/sen30=DA/sen90. Sendo DA o raio, logo AD seria 1/2.R mas não bate com o resultado. Onde que eu o raciocínio está errado? Obrigado, boa tarde.

por **Elcioschin** 31/8/2016, 5:16 pm

Seus erros: D NÃO está sobre a corda AB (e sim no arco AB) e DA NÃO é o raio

Seja M o ponto médio de AB: M é o ponto de encontro de AB com CD.
Trace a corda AD (pedida no enunciado).

No triângulo CAM ---> AM = CA.cosCÂM ---> AM = R.cos60º ---> AM = R/2

CM = CA.cosA^CD ---> CM = R.cos30º ---> CM = R.√3/2

No triângulo AMD ---> AD² = AM² + MD² ---> AD² = AM² + (CD - CM)² --->

AD² = (R/2)² + (R - R.√3/2)² ---> AD² = R²/4 + R² - R².√3 + 3.R²/4 --->

AD² = 2.R² - R².√3 ---> AD² = R².(2 - √3) --> AD = R.√(2 - √3)

por vinidf 31/8/2016, 7:23 pm

Nossa, que bola fora minha!! Tenho muita falta de atenção... obrigado, camarada Smile

por Francisco.Junior 28/5/2019, 9:34 am

Elcioschin escreveu:Seus erros: D NÃO está sobre a corda AB (e sim no arco AB) e DA NÃO é o raio

Seja M o ponto médio de AB: M é o ponto de encontro de AB com CD.
Trace a corda AD (pedida no enunciado).

No triângulo CAM ---> AM = CA.cosCÂM ---> AM = R.cos60º ---> AM = R/2

CM = AM.cosA^CD ---> CM = R.cos30º ---> CM = R.√3/2

No triângulo AMD ---> AD² = AM² + MD² ---> AD² = AM² + (CD - CM)² --->

AD² = (R/2)² + (R - R.√3/2)² ---> AD² = R²/4 + R² - R².√3 + 3.R²/4 --->

AM² = 2.R² - R².√3 ---> AM² = R².(2 - √3) --> AM = R.√(2 - √3)

Professor, não consegui entender pq no final o senhor colocou AM, a questão nao estaria pedindo AD? Segunda duvida, na equação pitagorica AD² = (R/2)² + (R - R√3/2)² .
O membro (R-R√3/2)² seria aplicado a regra de produto notável correto?

por **Elcioschin** 28/5/2019, 1:03 pm

Eu digitei errado AM, na última linha. O correto é AD. Vou editar. Obrigado pelo alerta!

Sim, deve-se fazer o desenvolvimento do produto notável: (a - b)² = a² - 2.ab + b²

(R - R.√3/2)² = R² - 2.R.(R.√3/2) + (R.√3/2)² = R² - R².√3 + 3.R²/4

por mila_2001 12/9/2019, 9:55 am

Uma dúvida minha... O triângulo ADM (sendo M o ponto médio de AB) é semelhante ao triângulo CBM? Se sim, como resolve? (pq o meu deu errado)

por **Elcioschin** 12/9/2019, 11:13 am

Os triângulos ADM e CBM não são semelhantes:

ABM ---> A^DM = 75º ---> DÂM = 15º
CBM ---> B^CM = 60º ---> B^CM = 30º

Outra solução mais simples para a questão:

Lei dos cossenos no triângulo isósceles CAD (CA = CD = R):

AD² = CA² + CD² - 2.CA.CD.cosA^CD

AD² = R² + R² - 2.R.R.cos30º

AD² = 2.R² - 2.R²(√3/2)

AD² = R².(2 - √3)

AD = R.√(2 - √3)

por mila_2001 12/9/2019, 9:41 pm

Professor, poderia me explicar como chegou nos ângulos 75 e 15? E obrigada pela resposta^^

por **Elcioschin** 12/9/2019, 9:55 pm

Temos um triângulo isósceles CAD, pois CA = CD = R
Neste triângulo A^CD = 30º e CÂD = C^DA = θ

A^CD + CÂD + C^DA = 180º ---> 30º + 2.θ = 180º ---> θ = 75º

No triângulo equilátero ABC ---> BÂC = 60º

CÂB + DÂM = CÂD ---> 60º + DÂM = 75º ---> DÂM = 15º