EFOMM

Analise as afirmativas abaixo, sendo Z ∈ ¢
I. Se
  
 então podemos afirmar que
 


II. Dado |Z - 3i | podemos afirmar que é uma circunferência de centro (0,3) e raio 2 

III. A forma trigonometrica de Z=6i é
 


IV.Sabe-se que -1 é raiz dupla da equação P(X)=2X⁴+X³-3X²-X+1 .logo,as outras raízes são números inteiros 


Pode-se afirma que:
A)As afirmativas I e IV são verdadeiras
B)Apenas a afirmativa I é verdadeira 
C)AS afirmativas II e IV são falsas 
D)AS afirmativas I e II são verdadeiras 
E)Apenas a afirmativa II é falsa 
 
Pessoal desculpa pelo tamanho da questão,não é preguiça de fazer é duvida mesmo(Principalmente na I e II),ajuda por favor 
Atentar para barrinhas acima dos números na I pois elas representam o conjugado 

Gabarito :

I) Correto. Conjugado é o oposto da parte imaginária de um número complexo e segue algumas propriedades que foram respeitadas. Onde tem "i" fica "-i" e onde tem 

II) Correto. Ficou faltando a parte em negrito -> |Z-3i|=2. Elevar os 2 membros ao quadrado tornaria fácil a visualização. Sabendo que , então:

Equação reduzida da circunferência=(x-xc)²+(y-yc)²=r²

*A parte imaginária representa no plano de Argand-Gauss o eixo das ordenadas.

(z-3i)²=2² -->C(0,3) e r=2

Veja essa link que explica com mais detalhe:

Link

III) Errado. Onde tem cosseno era para estar o seno e vice-versa. 

z=6i ; z=a+bi --> a=0 e b=6

|z|=√0²+6²
|z|=6

sen θ=b/|z|
sen θ=6/6=1

cos θ=a/|z|
cos θ=0/6=0

θ=π/2

z=|z|.(cos θ+isen θ)
z=6.(cos π/2+isen π/2)

IV) Errado. Sendo P(x)=2x⁴+x³-3x²-x+1 com x=-1 sendo raiz dupla temos que:

Relações de girard (esse cara te salva)

I)x₁+x₂+x₃+x₄=-b/a

-1-1+x₃+x₄=-1/2
x₃+x₄=-1/2+2
x₃=3/2-x₄

II)x₁.x₂.x₃.x₄=e/a
(3/2-x₄).x₄=1/2

-x₄²+(3/2).x₄-1/2=0
∆=9/4-4.(-1).(-1/2)=0
∆=9/4-2
∆=1/4

x₄=(-3/2±1/2)/-2 
x'₄=1/2(uma das raízes e não é número inteiro) e x''₄=2 (não convém)
*substitua na fórmula e iguale a zero para saber se é raiz.

Entendi !! 
Muito Obrigado resolução super completa !!!