Polinômio quadrado perfeito.

Determine a condição para que o polinomio f = (ax + b)² + (cx + d)² em que a, b, c, d são reais e não nulos, seja um quadrado perfeito.

fiz para f = ax² + bx + c mas não consegui fazer para essa.
Obrigado

Determine a condição para que o polinomio f = (ax + b)² + (cx + d)² em que a, b, c, d são reais e não nulos, seja um quadrado perfeito.

fiz para f = ax² + bx + c mas não consegui fazer para essa.
Obrigado

f(x) = (ax + b)² + (cx + d)² = a²x² + 2abx + b² + c²x² + 2cdx + d²
f(x) = (a² + c²)x² + (2ab + 2cd)x + (b² + d²)

a² + c² diferente 0

2ab + 2cd diferente 0

b² + d² diferente 0

Permitam-me complementar a resposta

Como a, b, c, d são reais e diferentes de zero

(a² + c²) é sempre diferente de zero
(b² + d²) idem

Resta somente a condição  2ab + 2cd <> 0 ---> ab + cd <> 0

Tem-se no gabarito:
ad = bc.
não entendi o porque.

Esta questão é a 134 do volume sobre numeros complexos do Gelson Iezzi...

Na questão 133 a gente ver que para f = Ax² + Bx + C ser um quadrado perfeito temos que ter B²=4AC. O que nos leva que para

f(x) = (ax + b)² + (cx + d)² ser quadrado perfeito devemos fazer

(a² + c²)=A

(2ab + 2cd)=B

(b² + d²)=c

porém, encontramos

a resposta igaul a ad = bc fazendo:

sabendo que (a² + c²) e (b²+ d²) é sempre diferente de zero e

(2ab + 2cd) deve ser diferente de zero tambem, entao

(2ab + 2cd) <> 0

[onde <> significa dirente de zero, caso vc nao saiba]

ac(2ab + 2cd) <> ac0

a²cb + c²ad <> 0 , que fica (-a²/c²)<>(ad/cb)

lembrando que

(a² + c²)<>0 leva (-a²/c²)<> 1

Entao

1) (-a²/c²)<>(ad/cb)

2) (-a²/c²)<> 1

leva a (ad/cb)=1 , entao ad = cb

que é o que tem na resposta. Qualquer dúvida ou se tiver umas questoes bem interessante me manda nepenteaovinho@hotmail.com.

Vou deixar a minha contribuição

f = (ax + b)² + (cx + d)² = a²x² + 2abx + b² + c²x² + 2cdx + d²
f = (a² + c²)x² + (2ab + 2cd)x + (b² + d²) (I)

Se f é um polinômio quadrado perfeito, então podemos escrevê-lo como sendo:

f = (px + q)² = p²x² + 2pqx + q² (II)

Igualando os polinômios (I) e (II), temos que:

p² = a² + c² (III)
q² = b² + d² (IV)
2pq = 2(ab + cd) ⟹ pq = ab + cd (V)

Elevando a expressão (V) ao quadrado:

(pq)² = (ab +cd)² ⟹ p²q² = a²b² + 2abcd + c²d² (VI)

Aplicando (III) e (IV) em (VI):

(a² + c²)(b² + d²) = a²b² + 2abcd + c²d²

a²b² + a²d² + b²c² + c²d² = a²b² + 2abcd + c²d²

a²d² + b²c² = 2abcd

a²d² -2abcd + b²c² = 0

(ad - bc)² = 0

ad - bc = 0

ad = bc

Elcioschin escreveu:Permitam-me complementar a resposta

Como a, b, c, d são reais e diferentes de zero

(a² + c²) é sempre diferente de zero
(b² + d²) idem

Resta somente a condição  2ab + 2cd <> 0 ---> ab + cd <> 0

Boa noite mestre, mas se eu fizer só essas condições já garante que ele é um quadrado perfeito? Porque nesse caso você só abriu a expressão (ax+b)²+(cx+d)² mas não necessariamente esse soma vai ser um quadrado perfeito... Não era pra ser feito: (ax+b)²+(cx+d)²=(px+q)²? Sendo as variáveis p e q qualquer número.

Sim, a solução do colega Oliver está mais completa.