(IME-89) PG

Três progressões geométricas têm mesma razão q e primeiros termos diferentes a,b,c. A soma dos n primeiros termos da primeira é igual à soma dos 2n primeiros termos da segunda e também é igual a soma dos 3n primeiros termos da terceira. Mostrar que a relação que liga as razões b/a e c/a, em função somente de a,b,c é

1ª PG ----> a, q, n ----> S1n = a*(q^n - 1)/(q - 1) -----> I

2ª PG ----> b, q, 2n ----> S2n = b*(q^2n - 1)/(q - 1) -----> II

3ª PG ----> c, q, 3n ----> S3n = c*(q^3n - 1)/(q - 1) -----> III


a) II = I -----> b*(q^2n - 1)/(q - 1) = a*(q^n - 1)/(q - 1) ----> a/b = (q^2n - 1)/(q^n - 1)

Efetuando a divisão do 2º membro ----> a/b = q^n + 1 -----> q^n = a/b - 1 ----> IV

(q^n)² = (a/b - 1)² -----> q^2n = a²/b² - 2*a/b + 1 -----> V


b) III = I -----> c*(q^3n - 1)/(q - 1) = a*(q^n - 1)/(q - 1) ----> a/c = (q^3n - 1)/(q^n - 1)

Efetuando a divisão do 2º membro ----> a/c = q^2n + q^n + 1 -----> VI


IV e V em VI -----> a/c = (a²/b² - 2*a/b + 1) + (a/b - 1) -----> a/c = a²/b² - a/b + 1 ---->

c/a = 1/(a²/b² - a/b + 1) ----> c/a = 1/[1/(b/a)² - 1/(b/a) + 1]

Ah vlw msm Elcio, n tinha visto a resolução., mto boa