Momento inercial (dúvida teórica)

Qual a diferença em termos de momento inercial nestas duas situações, partindo que  eu tenho um quadrado de lado L em forma de haste com quatro esferas ocas nos vértices de raio R e massa de m cada uma:

1) Se eu passo um eixo de rotação cortando o quadrado no meio.

2) Se eu passo um eixo de rotação numa diagonal do quadrado.

Vamos as dúvidas:

Uma esfera sólida possui uma equação para calcular seu momento inercial quando o eixo de rotação passa em seu centro de massa, correto? Seria 2/3MR²

No primeiro caso, o eixo nao corta nenhuma esfera, assim posso usar I = MR² para cada esfera onde R é a distância do centro de cada esfera ao eixo. Cada esfera seria uma partícula de dimensões desprezíveis. Correto?

No segundo caso, o eixo está na diagonal e corta duas esferas ao meio, assim para duas esferas aplicarei 2/3MR², onde R é o raio da esfera. E para as outras esferas aplicarei como no primeiro caso, só que como o eixo está na diagonal,a distância dessas duas esferas ao eixo será a metade  da diaognal do quadrado. Correto?

Basicamente, a dúvida consiste em qual equação de momento inercial devo aplicar, pelo que entendi se o eixo de rotação está fora do corpo, esse pode ser tratado como uma partícula de massa desprezível e aplicaria apenas I = MR², onde R é a distância do centro de massa do corpo ao eixo. Agora, se o eixo passa pelo centro de massa do corpo, devo aplicar a equação característica para calculo do momento inercial do corpo, como a equação de uma esfera oca.

Primeiro você tem de decidir se as esferas se comportam como pontos materiais ou como esferas e isso deve valer para todas elas em todos os casos.

Segundo, aparentemente você está considerando que as hastes que unem as esferas tenham massas desprezíveis. As situações como abaixo:



Nos dois casos o momento de Inércia total será a soma dos momentos de inércia.

No caso A será a soma dos momentos de inércia de cada esfera em relação ao eixo de rotação, obtido pelo teorema de Steiner.

No caso B duas das esferas terão seu momento de inércia pelo caso clássico de um eixo de rotação diametral e as outras duas obtidos pelo teorema de Steiner como anteriormente.

Hmm, então no primeiro caso o momento do sistema seria I = 4(Icm + Mh²). onde

Icm = 2/3Mr² para uma esfera oca e h seria a distância entre os eixos paralelos que passa no cm da esfera e o eixo que corta o quadrado no meio.

E no segundo caso o momento seria I = 2(2/3Mr²) + 2(Icm + Mh²).

Isso?