Geometria analitica (vectores)

por mocs76 Seg 02 maio 2016, 13:57

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Este exercicio corresponde a um exemplo de um livro e percebi o raciocinio ate ao final, mas ha uma coisa que eu gostaria de entender como comprovar matematicamente a qual farei referencia um pouco a frente.

OACB e um paralelogramo.

Nao sei como colocar o simbolo de vector mas tudo se refere a vetores, exceto o que for referenciado de forma diferente:

AB=a, OB=b, M o ponto medio de BC e N o ponto tal que ON:NC=2:1.

Mostre que ANM e uma linha reta.

O vetor ON e 2/3 de OC= 2/3(a+b)

E aqui que coloco a questao:

Ainda que se visualmente se perceba que ON corresponde a 2/3 de OC gostaria de saber se ha alguma forma de comprova-lo matematicamente atraves da relacao estabelecida de 2:1.

Muito obrigado.

por **Euclides** Seg 02 maio 2016, 15:59

Aplicando uma propriedade das proporções

$\\\frac{ON}{NC}=\frac{2}{1}\;\;\to\;\;\frac{ON+NC}{NC}=\frac{2+1}{1}\\\\\text{mas }\;ON+NC=OC\\\\\frac{OC}{NC}=\frac{3}{1}\;\;\to\;\;NC=\frac{OC}{3}\;\;\therefore \;\;ON=\frac{2OC}{3}$

por mocs76 Seg 02 maio 2016, 17:01

Euclides escreveu:Aplicando uma propriedade das proporções

$\\\frac{ON}{NC}=\frac{2}{1}\;\;\to\;\;\frac{ON+NC}{NC}=\frac{2+1}{1}\\\\\text{mas }\;ON+NC=OC\\\\\frac{OC}{NC}=\frac{3}{1}\;\;\to\;\;NC=\frac{OC}{3}\;\;\therefore \;\;ON=\frac{2OC}{3}$

Ola Euclides. Obrigado pela sua resposta. Apenas nao percebi o ultimo passo na passagem de:

NC=OC/3 para ON=2OC/3

Poderia me elucidar nesta parte,por favor. Obrigado.

por **Euclides** Seg 02 maio 2016, 17:04

Se um pedaço é 1/3 do todo, o outro será 2/3.

por mocs76 Seg 02 maio 2016, 17:10

Euclides escreveu:Se um pedaço é 1/3 do todo, o outro será 2/3.

Logico. Desatencao minha. E claro que se um "segmento" do vector corresponde a 1/3 o outro tem obrigatoriamente 2/3. Obrigado. E com muita alegria que lhe digo que tenho aprendido muito com voce e a equipe do pir2.

Uma ultima pergunta, se nao se importar:

O segundo procedimento tambem e uma propriedade das proporcoes?

por **Euclides** Seg 02 maio 2016, 17:14

mocs76 escreveu:Uma ultima pergunta, se nao se importar:

O segundo procedimento tambem e uma propriedade das proporcoes?

Não exatamente, isso remonta ao estudo das frações:

"se um todo for dividido em 3 partes e eu tomar uma delas, restarão duas."

por mocs76 Seg 02 maio 2016, 17:19

Euclides escreveu:
mocs76 escreveu:Uma ultima pergunta, se nao se importar:

O segundo procedimento tambem e uma propriedade das proporcoes?
Não exatamente, isso remonta ao estudo das frações:

"se um todo for dividido em 3 partes e eu tomar uma delas, restarão duas."

Me desculpe,creio que coloquei mal a minha pergunta. Me estava referindo a:

OC/NC=3/1 ,ou seja , se este metodo em si tambem e uma lei de proporcoes. (me desculpe a falta de pontuacao mas e um teclado ingles)

por **Euclides** Seg 02 maio 2016, 17:27

Ah, sim! Nas proporções vale

$\text{se }, \;\;\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\;\;\;\;\text{ent\~ao}\;\to\;\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}$

por mocs76 Seg 02 maio 2016, 17:42

Euclides escreveu:Ah, sim! Nas proporções vale

$\text{se }, \;\;\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\;\;\;\;\text{ent\~ao}\;\to\;\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}$

Muito obrigado Euclides.Bem haja!