Número de termos da PA

por Aeron945 Ter 29 Mar 2016, 11:04

Numa PA com número ímpar de termos, a soma dos termos de ordem ímpar é A e a soma dos termos de ordem par, B. Ache o número de termos.

Resp.: (A + B)/(A - B)

por **Claudir** Ter 29 Mar 2016, 17:26

$PA:\ (a_1,\ a_2,\ a_3,\ ...\ ,a_n)$

$(I):\ )a_1+a_3+...+a_n=A,\ (II):\ )a_2+a_4+...+a_{n-1}=B$

Seja a1 = a e r a razão da PA:

$(I):\ a+(a+2r)+(a+4r)+...+(a+r(n-1))=n_1.a+(2r+4r+...+(n-1)r)$

$(II):\ (a+r)+(a+3r)+...+(a+r(n-2))=n_2.a+(r+3r+...+(n-2)r)$

É fácil ver - por inspeção, através de exemplos como PAs de 3 termos ou 5 termos - que:

$n_1=\left ( \frac{n-1}{2} \right )+1=\frac{n+1}{2}$

$n_2=n-n_1=\frac{n-1}{2}$

$(I):\ \left ( \frac{n+1}{2} \right ).a+(n_1-1).\frac{(2r+(n-1)r)}{2}=(n+1)\left [ \frac{a}{2}+\frac{r(n-1)}{4} \right ]=A$

$(II):\ \left ( \frac{n-1}{2} \right ).a+n_2.\frac{(r+(n-2)r)}{2}=(n-1)\left [ \frac{a}{2}+\frac{r(n-1)}{4} \right ]=B$

$\frac{(I)}{(II)}=\frac{A}{B}=\frac{n+1}{n-1}\rightarrow n=\frac{A+B}{A-B}$

Essa deu trabalho... hahah
Eu pulei alguns passos, que seriam apenas substituições (de n1 e n2) e rearranjos da equação.

Espero ter ajudado. Wink

por Aeron945 Ter 29 Mar 2016, 22:00

Ajudou sim, com certeza! Obrigado.

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