Energia gravitacional

por yriuss16 27/2/2016, 10:01 pm

2. Considere dois satélites artificiais S e T em torno da Terra. S descreve uma órbita elíptica com semieixo maior a, e T, uma órbita circular de raio a, com os respectivos vetores posição $\underset{r}{\rightarrow}$ S e $\underset{r}{\rightarrow}$ T com origem no centro da Terra. É correto afirmar que

a) para o mesmo intervalo de tempo, a área varrida por $\underset{r}{\rightarrow}$ S é igual à varrida por $\underset{r}{\rightarrow}$ T.
b) para o mesmo intervalo de tempo, a área varrida por $\underset{r}{\rightarrow}$ S é maior que a varrida por $\underset{r}{\rightarrow}$ T.
c) o período de translação de S é igual ao de T.
d) o período de translação de S é maior que o de T.
e) se S e T têm a mesma massa, então a energia mecânica de S é maior que a de T.

Resposta: C

só não entendo porquê a energia de T é: $\frac{-GMm}{2a}$

Pensei que seria apenas $\frac{-GMm}{a}$ , já que a é o raio. Se possível, alguém pode me explicar por que a energia gravitacional é negativa?

por **Christian M. Martins** 27/2/2016, 11:15 pm

Pois esse é o trabalho a ser empregado para elevar a energia potencial de um corpo no infinito - em relação ao gerador do campo gravitacional - à zero.

O porquê de ser 2a no denominador eu não sei lhe responder. Creio que se deva ao fato de ter que somar o raio da Terra à distância do satélite à superfície terrestre.

por yriuss16 27/2/2016, 11:27 pm

Resolução

Para satélites de mesma massa quando o raio da tra jetória circular é igual ao semieixo maior da órbita elíptica as energias mecânicas são iguais conforme se demonstra a seguir:
Para a órbita circular:

Et=-Ecin= $\frac{-GMm}{2a}$

Para a órbita elíptica (satélite S):

No periélio: Es= $\frac{-GMm}{2a}+\frac{m Vmax^{2}}{1}(1)$

No afélio: Es= $\frac{-GMm}{D}+\frac{m Vmin^{2}}{2}(2)$

Em (1): $V_{max}^{2}=\left ( Es+\frac{GMm}{d} \right )\frac{2}{m}$

Em (2): $V_{max}^{2}=\left ( Es+\frac{GMm}{D} \right )\frac{2}{m}$

$V_{max}.d=V_{min}.D$

$\left ( Es+\frac{GMm}{d} \right )\frac{2}{m}.d^{2}=\left ( Es+\frac{GMm}{D} \right )\frac{2}{m}.D^{2}$

(desenvolvendo)

$Es=\frac{-GMm}{D+d}$

Sendo: $a=\frac{D+d}{2}$ , vem $Es=\frac{-GMm}{2a}$

Portanto: Et=Es