Fatoração e numero de divisores

por Brendonn Sáb 20 Fev 2016, 23:44

01. Ao fatorarmos o número inteiro positivo n,
obtemos a expressão n = 2^x*5^y[size=8][size=12], onde x e y são
números inteiros positivos. Se n admite exatamente
12 divisores positivos e é menor do que o número
199, então, a soma x+y é igual a[/size][/size]
[size=8][size=12][size=8][size=12]
A) 5.
B) 6.
C) 7.
D) 8.[/size][/size][/size][/size]

por **Elcioschin** Sáb 20 Fev 2016, 23:19

n = 2^x.5^y

Número de divisores = (x + 1).(y + 1) = 12

Paes de divisores positivos de 12 ---> (1, 12), (2, 6), (3, 4) ou os inversos (12, 1), (6, 2), (4, 3)

(1, 12) ---> x = 0 ---> y = 11 ---> 2^0.5^11 > 199
(2, 6) ----> x = 1 ----> y = 5 -----> 2^1.5^5 > 199
(3, 4) ----> x = 2 ----> y = 3 -----> 2^2.5^3 > 199

(12, 1) ---> x = 11 ---> y = 0 -----> 2^11.5^0 > 199
(6, 2) ----> x = 5 -----> y = 1 -----> 2^5.5^1 = 160 < 199
(4, 3) ----> x = 3 -----> y = 2 -----> 2^3.5^2 = 200 > 199

Solução: x = 5, y = 1 ---> x + y = 6 ---> B