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Limite de Função Composta

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PiR2 :: Matemática :: Iniciação ao Cálculo

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Limite de Função Composta

por jvrn3 Sáb 20 Fev 2016, 20:10

Seja f definida \mathbb{R}. Suponha que \lim_{x\to\0}\frac{f(x)}{x} = 1. Calcule:
a) \lim_{x\to\0}\frac{f(3x)}{x}
b) \lim_{x\to\0}\frac{f(x^2 -1)}{x -1 }

Não faço idéia de como resolver. O livro(Guidorizzi) estava apresentando a idéia do limite de função composta

Resposta:
a) 3
b) 0

jvrn3: Iniciante; Mensagens : 35
Data de inscrição : 02/07/2014
Idade : 27
Localização : BRazil

Re: Limite de Função Composta

por Jader Qua 24 Fev 2016, 09:56

$\\\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(3x)}{x}=\lim_{u\rightarrow 0}\frac{f(u)}{\frac{u}{3}},\\\\~~onde~~u=3x\Rightarrow x=\frac{u}{3}~~e~~quando~~x\rightarrow 0\Rightarrow u\rightarrow 0\\\\\therefore \lim_{u\rightarrow 0}\frac{f(u)}{\frac{u}{3}}=\lim_{u\rightarrow 0}\frac{1}{3}\frac{f(u)}{u}=\frac{1}{3}\lim_{u\rightarrow 0}\frac{f(u)}{u}=\frac{1}{3}*1=3$

Esse seu item b está com a resposta errada o correto é 2 e, além disso, está escrito de forma errada escreverei o mesmo de forma correta e com a solução.

$\\\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x^{2}-1)}{x-1}=\lim_{u\rightarrow 0}\frac{f(u)}{\sqrt{u+1}-1},\\\\~~onde~~u=x^{2}-1\Rightarrow x=\sqrt{u+1}~~e~~quando~~x\rightarrow 1\Rightarrow u\rightarrow 0\\\\\therefore \lim_{u\rightarrow 0}\frac{f(u)}{\sqrt{u+1}-1}=\lim_{u\rightarrow 0}\frac{f(u)}{\sqrt{u+1}-1}*\frac{\sqrt{u+1}+1}{\sqrt{u+1}+1}\\\\=\lim_{u\rightarrow 0}\frac{f(u)(\sqrt{u+1}+1)}{u}=\lim_{u\rightarrow 0}\frac{f(u)}{u}*\lim_{u\rightarrow 0}(\sqrt{u+1}+1)=1*2=2$

Jader: Matador; Mensagens : 989
Data de inscrição : 06/03/2012
Idade : 29
Localização : Fortaleza - CE

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