Dedução Equações e Inequações Irracionais

por Lucas Guedes Dom 31 Jan 2016, 09:06

Considerem-se os números:
$x_1 = \sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}} \\ x_2 = \sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$

Calcule $x_1^2+x_2^2$ e $x_1\ .\ x_2$ . Deduza o valor de $x_1+x_2$ .

Resposta:

por Lucas Guedes Dom 31 Jan 2016, 09:27

Não consigo chegar na resposta correta. O que fiz foi o seguinte:
$x_1^2+x_2^2=\left(\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\right)^2 + \left(\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}} \right)^2 =\\ = 4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}\ +\ 4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}=8$

$x_1\ .\ x_2=\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\ .\ \sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}=\\ =\sqrt{\left( 4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right) \left(4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)}= \\ =\sqrt{4^2-\left(\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)^2}=\\ =\sqrt{16-10+2\sqrt{5}}=\\ =\sqrt{6+2\sqrt5}$

por M.M Dom 31 Jan 2016, 13:20

ola lucas no final você errou
√(16-10-2√5) seria o correto
assim no final seria √(6 -2√5)
X1.X2=√(6 -2√5)=√[( -1)² -1.2.√5 + (√5)²]=√[(√5 -1)²]
X1.X2=√5 -1

(X1 + X2)²=X1² + X2² +2.X1.X2
X1 + X2=√(8 +2√5 -2)=√(6 +2√5)=√[1² + (√5)² + 2.1.√5]=√[(1 +√5)²]
X1 +X2= 1+√5

por **Elcioschin** Dom 31 Jan 2016, 14:20

Para calcular o radical duplo √(A ± √B)

A transformação abaixo somente deve ser feita se A² - B for um quadrado perfeito

√(A ± √B) = √[A + √(A² - B)]/2 ± √[A - √(A² - B)]/2

No teu caso ---> √(6 - 2√5) = √(6 - √20) ---> A = 6, B = 20 ---> A² - B = 16 ---> OK

Calcule portanto o resultado.