Inequações Irracionais

por Thiago Casanova Sáb 27 Jun 2015, 23:13

Resolva a inequação em IR:

(√5x + 3)/x < (√2)

Gabarito:

S= { -3/5 ≤ x < 0 ou x > 3 }

Achei a explicação do livro meio ruim de entender Question

por **Carlos Adir** Seg 29 Jun 2015, 20:02

Thiago, o 3 está dentro da raiz?
Vamos considerar que esteja:
$\mathrm{ \dfrac{\sqrt{5x+3}}{x} < \sqrt{2}}$
Condição de existência: 5x+3≥0 ---> x ≥ -3/5
Podemos perceber, que como a raiz é sempre positiva, então a parte será positiva. E como um número negativo é sempre menor que um número positivo, então se x<0, a parte debaixo será negativa, e será consequentemente menor que raiz de 2.
Podemos presumir que uma solução é -3/5 ≤ x < 0.

Apartir daqui, podemos admitir que x>0, pois o caso em que é negativo já verificamos.
Deste modo, podemos multiplicar:
$\\ \mathrm{ \sqrt{5x+3} < x \sqrt{2}} \\ \mathrm{5x+3 < 2x^2} \\ \mathrm{2x^2-5x-3 >0}$
Apartir daqui, temos diversas maneiras de chegar ao resultado.
Contudo, eu prefiro completar quadrado:
$\\ \mathrm{2x^2-5x-3 > 0} \\ \mathrm{16x^2-40x - 24 >0} \\ \mathrm{\left(4x \right )^2-2 \cdot \left(4x \right ) \cdot \left(5 \right ) + (5)^2 > 24 + 5^2} \\ \mathrm{\left(4x-5 \right )^2 > 49} \\ \mathrm{|4x-5|>7 \Rightarrow }\begin{cases}\mathrm{4x-5 < -7}\\ \mathrm{4x-5 > 7} \end{cases} \\ \Rightarrow \begin{cases}\mathrm{x < \dfrac{-1}{2}} \\ \mathrm{x > 3} \end{cases}$
Como a condição era que x fosse positivo, então a primeira opção é descartada, e somente a segunda resta. Logo:

$\mathrm{S=\left\{x \in \mathbb{R}/ \dfrac{-3}{5} \le x < 0 \ ou \ 3 < x \right \}}$