Questão UFRGS (2016)

por pmanfredo Dom 17 Jan 2016, 14:14

Na figura abaixo, encontram-se representados o hexágono regular ABCDEF, seis quadrados com um de seus lados coincidindo com um lado do hexágono e um círculo que passa por vértices dos quadrados. Se o lado do hexágono é 1, então determine a área do círculo.

Questão UFRGS (2016) 5lwd9v

por pmanfredo Dom 17 Jan 2016, 14:46

O gabarito oficial é ∏ ( 2+ √3)

por **Baltuilhe** Dom 17 Jan 2016, 15:04

Boa tarde!

Um triângulo equilátero tem 3 ângulos de 60º e um quadrado 4 ângulos retos. Por isto o ângulo D do triângulo indicado tem ângulo de 150º, dois lados medindo 1 (lado do hexágono e lado do quadrado), e a medida do centro até a circunferência é um raio. Então, aplicando-se a lei dos cossenos:
Questão UFRGS (2016) 118evwn

\\R^2=1^2+1^2-2(1)(1)\cos(150^\circ)\\
R^2=2-2(-\cos(30^\circ))\\
R^2=2+2\frac{\sqrt{3}}{2}\\
R^2=2+\sqrt{3}

Como a área do círculo depende de R ao quadrado, então:

\\A=\pi{R^2}\\
A=\pi(2+\sqrt{3})

Espero ter ajudado!

por **Medeiros** Dom 17 Jan 2016, 15:07

O Baltuilhe foi mais rápido, na resolução (mais enxuta e direta) e na resposta, mas salvo assim mesmo para não perder a viagem.

por pmanfredo Dom 17 Jan 2016, 15:11

Muito obrigado !

por Yuri Pantoja Dom 17 Jan 2016, 15:13

Agora precisas notar que o RAIO e o lado do quadrado e trinângulo formam um triângulo isósceles. O ângulo interno do quadrado é noventa e do triângulo é sessenta , o que sobra 15 para cada lado do triângulo isósceles,
15+15+x=60
x=30
LEI DOS COSSENOS e pronto. Achou o raio e basta basta usar Pir2 para achar a área.
Questão UFRGS (2016) 245x012