questão da ufmg

19. (Ufmg 95) Observe a figura a seguir. Nessa figura, AS e AC são tangentes à circunferência circunscrita ao triângulo BCD, e os ângulos BAC e BCD medem 140° e 40°, respectivamente. Se m e n são, respectivamente, as medidas, em graus, do maior e do menor ângulo do triângulo BCD, o valor de m-n é



a) 20
b) 40
c) 60
d) 80
e) 100

Raimundo

Pelo enunciado C é ponto de tangência (desenho malfeito) mas B não é.
O enunciado diz que AS é tangente (e não AB)
Acontece que o ponto S não aparece na figura.
Seria bom que o H3isenberg esclarecesse

Essa questão já foi resolvida por mim aqui no fórum , onde cheguei erradamente no gabarito.

Raimundo

Detetamos então um erro na postagem inicial: não existe o ponto S. Os pontos de tangência são, então B e C

Peço um favor: não estou conseguindo hospedar imagens no fórum, portanto solicito que você faça um desenho em escala, principalmente quanto aos ângulos, acrescentando no desenho:

1) Uma reta auxiliar BC, além da reta BD
2) O centro O do círculo (vai ficar à direita da reta CD)
3) os raios OB, OC e OD e uma reta auxiliar OA

Temos portanto:

a) A^BO = A^CO = 90º
b) No quadrilátero ABOC ---> BÂC + A^BO + A^CO + BÔC = 360º ---> 140º + 90º + 90º + BÔC = 360º --->

BÔC = 40º ---> AÔB = AÔC = 20º

No triângulo isósceles OBC --> A^BO = A^CO = 70º ---> B^CO = B^CD + O^CD ---> 70º = 40º + O^CD ---> O^CD = 30º

No triângulo isósceles OBD ---> BÔD = 80º ---> O^BD = O^DB = 50º

No triângulo isósceles OCD ---> O^DC =O^CD ---> O^DC = 30º

B^DC + O^DC = O^DB ---> B^DC + 30º = 50º ---> B^DC = 20º

C^BD = O^BC + O^BD ---> m = 70º + 50º ---> m = 120º

n = B^DC ---> n = 20º

m - n = 120º - 20º ---> m - n = 100º ---> Alternativa E

Mestre Elcio ,
Tentei aprox. o máximo o desenho de acordo com os dados.Já que a fig. original mostra o âng. A=140º como um âng. agudo.
Mas, na sua resolução, quando vc fala°   BÔD=80, não consegui ver como chegou a esse valor, e pela minha fig. mostra que é um âng. agudo , o que pressupôe que essa ainda não é a fig. certa. De resto acho que está certo.

OK  já ví o BÔD=80.
Do âng. inscrito B^CD=40 , temos o arco BD=80 , conseq. o âng. central  BÔD=80. right

Perfeito, Raimundo!
A pequena discrepância do desenho deve-se ao fato de que o ângulo BÂC está menor que 140º.
Isto significa que o ponto A vai ficar um pouco mais próximo da circunferência.
Mas não é preciso mudar a figura: do jeito que está dá para o pessoal acompanhar os meus cálculos.
Agradeço muito pelo seu empenho em ajudar.

É isso ai mestre Elcio. Tmj  :bball:

Apesar de feita à mão livre, me parece que esta figura fica mais próxima do enunciado. E o Raimundo resolveu acertadamente na primeira mensagem.



Triângulo ABC é isósceles com A^BC = A^CB = 20°.
Então, ângulo inscrito B^DC = ângulo de segmento B^CA = 20° -----> n = 20°
.:. resta, no triângulo BCD, o ângulo C^BD = 120° -----> m = 120°


- - - - - - - - - - - - - - ADENDO:

ou também,
B^CD = 40º -----> arco BD = 80º
maior arco BC = 2m + 80º
menor arco BC = 2n
aplicação direta da fórmula:
(2m + 80º) - 2n
---------------- = 140º ------> m - n = 100º
....... 2