Integral - Lata Cilíndrica

por jose roberto Dom 21 Nov 2010, 14:04

Uma lata cilindrica com base circular deve ser construida para conter uma volume V. ache as dimensões(raio (r) e altura (l) tais que a quantidade de chapa metálica necessária a sua construção seja mínima quando:

a) a lata for aberta,isto é, não tiver uma tampa
b) a lata for fechada, isto é, tiver uma tampa

Very Happy

por **adriano tavares** Seg 22 Nov 2010, 14:37

Olá, jose roberto.

$V=\pi r^2h \Rightarrow h=\frac{V}{\pi r^2}$ (I)

$A=2\pi rh+\pi r^2$ (II)

Substituindo (I) em (II) teremos:

$A=\pi r^2+2\pi r\frac{V}{\pi r^2}\Rightarrow A=\pi r^2+\frac{2V}{r}\Rightarrow A=\frac{2V+\pi r^3}{r}$

Calculando dA/dr teremos:

$\frac{dA}{dr}=\frac{3\pi r^2.r-1(2V+\pi r^3)}{r^2}\Rightarrow\frac{dA}{dr}=\frac{2\pi r^3-2V}{r^2}$

Fazendo-se dA/dr igual a zero teremos:

$\frac{2\pi r^3-2V}{r^2}=0 \Rightarrow 2\pi r^3=2V \Rightarrow r=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$

Substituindo o valo de r encontraremos:

$h=\frac{\sqrt[3]{\pi^2V}}{\pi}$

A resolução do item b é análogo, basta considerar $A=2\pi rh+2\pi r^2$