questão lata cilindrica

por RuanBLima Sáb 07 Jun 2014, 16:40

05) Uma lata cilíndrica fechada tem capacidade de 1 litro. Qual deve ser o raio da base desse cilindro para que se tenha uma área mínima?

por RuanBLima Sáb 07 Jun 2014, 20:39

Alguem ajuda?

por Man Utd Sáb 07 Jun 2014, 22:23

Olá

O volume é dado por : $V=\pi r^2 h$ , e a sua área é : $A=2\pi r^2+2\pi r h$

De acordo com o exercício :

$\\\\\\ 1.10^{-1}=\pi r^2 h \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; h=\frac{1.10^{-1}}{\pi r^2}$

substituindo na área :

$\\\\\\ A(r)=2\pi r^2+2 \pi r \frac{1.10^{-1}}{ \pi r^2} \\\\\\ A(r)=2\pi r^2+ \frac{2.10^{-1}}{ r}$

Derivando e igualando zero:

$\\\\\\ 0=4\pi r-\frac{2.10^{-1}}{ r^2} \\\\\\ 4\pi r=\frac{2.10^{-1}}{ r^2} \\\\\\ r^3=\frac{2.10^{-1}}{ 4\pi} \\\\\\ r=\sqrt[3]{\frac{1.10^{-1}}{2\pi}}$