Cálculo III

Encontrar a área da superfície do elipsoide x²/a² + y²/b² + z²/b² = 1, a²>b²


Para encontrar área eu fiz de duas maneiras:

1) Integral dupla do módulo da normal do vetor normal ao elipsoide:
Para isso, parametrizei o elipsoide da seguinte forma: α(θ,φ) = (acosθsenφ, bsenθsenφ, bcosφ). Porém, na hora de fazer o módulo, fica uma integral gigante e não consigo resolver.


2) Teorema de Pappus:
A curva que gera o elipsoide é dada por x^2/a^2 + z^2/b^2 = 1, x≤0. Como a rotação se dá em z, a área é:

A(S) = 2pi vezes integral [acosθraiz(asen²θ+b²cos²θ)]dθ, intervalo variando de -pi/2 a pi/2

Mas não consigo integrar!

Queria que vocês me ajudassem a ver se eu errei em algum passo ou se a integral é essa mesma. Se for essa acima, gostaria que resolvessem para mim. Creio que tenha algum tipo especial de substituição. Obrigado e desculpem pela digitação.