Potencia

por **Fafa** Qui 05 Ago 2010, 20:55

Calcule $\left ( \frac{1-i}{1+i} \right )^{1987}$ .

por Viniciuscoelho Qui 05 Ago 2010, 21:16

$\\\left ( \frac{1-i}{1+i} \right )^2.\left ( \frac{1-i}{1+i} \right )^{1985}=\\ \left ( \frac{1-i}{1+i} \right )^2=\left ( \frac{1-2i+i^2}{1+2i+i^2} \right ) \to \left ( \frac{1-2i-1}{1+2i-1} \right ) \to \left ( \frac{-2i}{2i} \right )= (-1)\\ (-1).\left ( \frac{1-i}{1+i} \right )^{1984}.\left ( \frac{1-i}{1+i} \right )=?\\ \left ( \frac{1-i}{1+i} \right )^2=-1\rightarrow \left ( \frac{1-i}{1+i} \right )^{1984}=-1\\ (-1).(-1)\left ( \frac{1-i}{1+i} \right )=?\\ \left ( \frac{1-i}{1+i} \right )^{1987}=\left ( \frac{1-i}{1+i} \right )$

Concluindo:
$\\ x= \left ( \frac{1-i}{1+i} \right )^{1987}=\left ( \frac{1-i}{1+i} \right )\\ x=\left ( \frac{1-i}{1+i} \right ) \to x^2=-1\rightarrow x=i$

por **Elcioschin** Sex 06 Ago 2010, 12:01

Outra solução:

Racionalizando a fração

(1 - i)/(1 + i) = (1 - i)*(1 - i)/(1 + i)*(1 - i) = (1 - 2i + i²)/(1² - i²) = (1 - 2i - 1)/(1 + 1) = -2i/2 = - i

(-i)^1987 = (-i)²*(-i)*(-i)^1984 = (-1)*(-i)*[(-i)^4]^496 = (i)*(1)^496 = i

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