FUNÇÃO CALCULOl

Considere a função :F(X)=3X^4 + 4X^3 - 12X^2 + 2
a) encontre os pontos críticos, se existirem;
b) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
c) determine os máximos e os mínimos relativos;
d) determine o(s) ponto(s) de inflexão;
e) encontre os intervalos onde f(x) é côncava para cima ou para baixo;
f) esboce o gráfico

Estou com muita dificuldade em fazer...Agradeço...muiiiitooooo!!

Olá

Bom, antes de fazer, temos que ter uma noção do que estamos fazendo e devemos esperar algumas coisas. Por exemplo, a f é uma função polinomial, e portanto derivável e contínua em todo seu domínio. Não teremos pontos críticos (onde a derivada não é zero, mas o ponto é de max ou min local).
Devemos esperar também que essa função não tenha máximo e mínimo (ao mesmo tempo) global. Pelo grau desse polinômio, podemos notar que esta só possui mínimo global.

Mas isso é só especulação. Vamos começar:

I) Domínio: Domf = R

II) Intersecção com os eixos coordenados:

(x=0): y = 2. P1 = (0,2)
(y=0): Bom, temos um problema. Esse polinômio não possui nenhuma raiz racional. O que você pode fazer é procurar os intervalos nos quais estão essas raizes pelo Teorema do Anulamento. Se achar uma, deverá ter pelo menos duas. Se achar 3, haverá 4 raizes reais. Já adianto que são 4 raízes, basta procurá-las.

III) Cresc/Decrescimento/ Máximos e Mínimos locais:

Via 1ª derivada: f'(x) = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x^2 + x - 2)

Raizes de f': x=0 ou x = 1 ou x = -2

Faça o varal de sinais e encontre os imtervalos de crescimento/decrescimento.
Vai char os máximos e mínimos locais desse jeito.

IV) Concavidade / Pontos de inflexão: Via f''

Quando f'' > 0, concavidade voltada para cima
Quando f'' < 0, concavidade voltada para baixo

Quando x é um valor aue está entre duas concavidades de nomes distintos, x é ponto de inflexão

V) Limites necessários. Lim da f em + infinito e - infinito.


Com isso, é possível esboçar o gráfico.