FUNÇÃO.

Seja f uma função e x um ponto do seu domínio. Diz que x é um ponto fixo de f se f(x)=x . Considere a função g:R-->R definida por g(x)= 1 / (x²+1). É correto afirmar que:

a) g não possui ponto fixo em [0,1]
b) g possui um ponto fixo em [0,1]
c) g possui dois pontos fixos em [0,1]
d) g possui três pontos fixos em [0,1]

como faz? :s

Ele já diz na questão o que é ponto fixo, basta então jogar no papel.
Ponto fixo -> f(x)= x , ou seja, y = x.
logo se f(x)= 1 / (x²+1) , temos que x = 1 / (x²+1).
organizando , temos -> x³+x-1=0.
Lembrando que o x = y , logo o valor que acharmos para x, sera o mesmo para y.
se eu jogar 1 , vai dar x = 2, se eu jogar 0, vai dar x = -1.
logo concluímos que temos uma raíz no intervalo [0,1].

Nesse link você poderá ver a função direitinha, e entender melhor.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%C2%B3%2Bx-1%3D0

E se a função g: R -->R fosse definida por f(2x+1)?

Como a função polinomial é uma função contínua, então:


Então existe um valor entre (0, 1) que satisfaz.

Agora se g(x) fosse definida por f(2x+1):
Primeira coisa que devemos fazer:


Teremos um ponto em comum com g(x) e f(x) quando:


Portanto, uma solução neste caso seria -1

Como sei se passa apenas um ponto? Por exemplo, com essa resolução de utilizar o h(0)=-1 e o h(1)=1 sabemos que tem de passar pelo menos uma vez pelo eixo X, mas o que me garante que não pode passar mais vezes? Obrigado

O gráfico:

Mas gráfico não é argumento.
Podemos derivar e descobrir quando a derivada for zero, ou seja, quando o sentido inverte. Percebemos que não existe solução, ou seja, a função é só crescente.

Mas para fins de utilização do ensino médio, temos o seguinte, utilizando Girard:

Da primeira e terceira linha, percebemos que a soma dá zero, e portanto, os três são 0, ou existe algum negativo. Assim não temos três soluções no intervalo [0,1], pois f(0) ≠ 0
Um polinomio de terceiro grau só existem no máximo 3 raizes.
Outra relação que podemos tirar é que multiplicando as raizes dá 1, e portanto, é necessário que todos sejam 1, ou que algum deles seja maior que 1, e os outros dois no intervalo [0,1].
Se a multiplicação das raizes dá 1, então a soma deveria dar um número maior ou igual a 3, pois pela desigualdade das médias:

O que contradiz a primeira relação da soma das raizes.
Da relação descrita acima, é impossivel que os 3 sejam positivos e que estejam no intervalo [0, 1]

Fora que:
Toda função de terceiro grau, ela tem um sentido, isto é, se o coeficiente de x³ for positivo, conforme x cresce, o valor de f(x) também cresce.
No exemplo da função g(x)=(x-0,2)(x-0,5)(x-0,8) por exemplo, temos que as 3 soluções estão no intervalo [0, 1].
E com isso, se f(0)<0 e f(1)>0 então temos que há 1 ou 3 raizes. Como vimos acima, é impossivel termos 3 raizes.

Se existirem apenas 2 raizes no intervalo [0, 1]. Teriamos que f(0) <0 e f(1)< 0. Um exemplo é no caso (x-0.4)(x-0.8)(x-1.2):


Portanto, se não há tres, nem duas, então há somente uma raiz, pois f(0)<0 e f(1)>0