Cálculo 1 - Derivação

No intervalo [0, 7] a derivada assemelha-se à uma função seno invertida ---> 
f'(x) = - A.senx
A única diferença é que as amplitudes da onda estão aumentando, a cada meio período.

Neste intervalo ---> f(x) = ∫f'(x)dx ---> f(x) = - A∫.senxdx ---> f(x) = A.cosx

Desenhe f(x) como se fosse uma função cosseno, com amplitude também aumentando

No intervalo [7, 9] existe um ponto com inversão de f'(x) de decrescente para crescente.

Tente completar

Deu certo, obrigado.

Então mostre o passo-a-passo da sua solução para que outros usuários do fórum aprendam contigo!

a) Pontos críticos em x=1, 3, 5, 7
b) Cresce em (1,3) e (5,9), decresce em (0,1) e (3,5)
c) f tem um máx local exatamente quando f' muda de positivo para negativo e tem o seu mínimo negativo quando f' muda de negativo para positivo. Logo, f máx local = 4 e dois mínimos locais em x=2 e x=6
d) Concavidade para cima em (0,2),(4,6) e (7.5,9). Pontos de inflexão em x=2,4,6 e 7.5

GabrielSilveiraF escreveu:a) Pontos críticos em x=1, 3, 5, 7
b) Cresce em (1,3) e (5,9), decresce em (0,1) e (3,5)
c) f tem um máx local exatamente quando f' muda de positivo para negativo e tem o seu mínimo negativo quando f' muda de negativo para positivo. Logo, f máx local = 4 e dois mínimos locais em x=2 e x=6
d) Concavidade para cima em (0,2),(4,6) e (7.5,9). Pontos de inflexão em x=2,4,6 e 7.5

Faltou um ponto critico em x = 8

Esqueci de colocar, obrigado.

Olá amigo. 

Creio que você se enganou em sua resolução, a questão dada na imagem é F´(X), ou seja, a função dos coeficientes angulares da f(x).

Desta forma, podemos fazer observações sobre a função original, apenas observando o seguinte:

Quando F´(X) é positiva, os coeficientes angulares de f(x) estão aumentando, portanto a função é crescente no referido intervalo, se F´(X) é negativa, os coeficientes angulares de f(x) estão diminuindo, assim a função é decrescente no intervalo. Você deve estar se perguntando agora, "E quando f´(x) =0?", Neste momento, teremos os pontos críticos da função f(x).

Pontos críticos, são o momento em que teremos pontos máximo ou mínimos.


Desta forma a resolução correta seria:

a) Pontos críticos: São aqueles em que f´(x)=0.  {0,2,4,6}

b) Intervalo de crescimento e decrescimento de f: 
Quando f´(x) é positiva => Crescente:   (2,3) e (6, + inf) 
Quando f´(x) é negativa ==> decrescente: (0,2) e (4,6)

c)Pontos máximo e mínimos locais de f:

Agora observe os valores de f´(x) em que f´(x)=0. Aqui temos os valores já ditos (0,2,4,6) estes pontos são os extremantes, para saber se eles são pontos máximo e mínimos precisamos observar como a função f´(X) se comporta nas vizinhanças destes pontos.

x=0 ........ Observe que, não sabemos o comportamento de f(x) para valores menores que 0, porém sabemos que depois de 0 a função é decrescente, então temos um ponto máximo local.

x=1 :    Aqui podemos observar que antes de 1 a função e decrescente ( f´(x)<0 ) e depois de  1 é crescente (f´(x)>0 , portanto é um ponto mínimo local.


x=4:   Para valores menores que 4 temos f´(x) >0 ( crescente) e para maiores que 4 temos f´(x)<0 ( decrescente). Portanto, é um ponto máximo local.


x=6:  Aqui fica mais fácil, olhe que antes de x=6 temos f´(x)<0 e depois f´(x)>0, portanto, em x=6 etmos um ponto mínimo local.

Tem razão Saulo. Também tinha esquecido que o gráfico era da derivada de f. Logo x=8 não seria ponto critico, como comentei acima, mas sim ponto de inflexão de f.