Triângulos Equiláteros Sobre Quadrado

Na figura temos dois triângulos equiláteros construídos sobre dois lados consecutivos de um quadrado. Determine as incógnitas.



Gabarito: a=75°  b= 15°  x=y=z=60°

Seja ABCD o quadrado, sendo A o vértice inferior, B o direito, C o superior e D o esquerdo.
Sejam E e F os vértices esquerdo e direito do pentágono EFBCDF

AB = BC = CD = DA = AF = BF = AE = DE = a

Nos triângulos ADE e ABF ---> DÂE = A^DE = AÊD = 60º e BÂF = A^BF = A^FB = 60º

BÂD + DÂE + BÂF + EÂF = 360º ---> 90º + 60º + 60º + EÂF = 360º ---> EÂF = 150º

No triângulo isósceles AEF ---> AÊE = AÊF = b ---> b + b + 150º = 180º ---> b = 15º

Idem para triângulos DCE e BCF ---> D^CE = DÊC = B^CF = B^FC = 15º

No vértice C ---> D^CE + E^CF + B^CF = B^CD ---> 15º + x + 15º = 90º ---> x = 60º

No triângulo isósceles com ângulos x, y, z ---> y = z ---> x + y + z = 180º --->  60º + 2.y = 180º ---> y = 60º ---> z = 60º ---> Logo o triângulo é equilátero

No triângulo com ângulo a: 

Ângulo esquerdo = 60º - 15º = 45º 
Ângulo direito = 60º

a + 45º + 60º = 180º ---> a = 75º