2º Questão da Lista de Exercícios

Quatro números são sorteados ao acaso, sem reposição, do conjunto {0, 1, . . . , 9}. Calcule as probabilidades de que

(a) os quatro números formem uma seguida (por exemplo, 2, 3, 4, 5).

(b) todos sejam maiores que 5.

(c) o número 0 seja escolhido.

(d) pelo menos um seja maior que 7.

(e) todos sejam ímpares.

Primeiro definimos o nosso espaço amostral que é dado por
[latex] S=\left \{  (n_i,n_j,n_k,n_y):i,j,k,y \in \left \{ 1,2,..,9 \right \}, i\neq j\neq k\neq y \right \} [/latex]
Sendo assim S=[latex]C_{10}^4=210[/latex]

a) Seja A o evento em que os números formem uma ordem seguida.
Temos então (0,1,2,3)(1,2,3,4)(2,3,4,5)(3,4,5,6)(4,5,6,7)(5,6,7,(6,7,8,9) logo temos 7 elementos.
sendo assim [latex]P(A)=\frac{7}{210}[/latex]

b) Seja B o evento em que os números formados TODOS sejam maior que 5.
Logo temos a quádrupla de (6,7,8,9), logo somente uma maneira.
[latex]P(B)=\frac{1}{210}[/latex]

c) Seja C o evento em que o número 0 já foi escolhido, logo nos resta 9 números para combinar 3 a 3
[latex]n(C)=C_{9}^3 [/latex] 
[latex] P(C)=\frac{84}{210} [/latex]

d) Seja D o evento em que pelo menos um dos números sorteados seja maior que 7.
Em um primeiro momento devemos analisar o seguinte:
Para um número maior que 7 temos 2 que satisfazem essa condição, restando assim 8 números para ocuparem os 3 lugares restantes, logo fazemos [latex] C_{2}^1\cdot C_{8}^3 [/latex]
Para dois números maiores que 7 temos [latex] C_{2}^2\cdot C_{8}^2[/latex]
Para 3 e 4 essa possibilidade é 0, pois 2<3<4
logo ficamos com [latex] C_{2}^1\cdot C_{8}^3 + C_{2}^2\cdot C_{8}^2 = 140 [/latex]
[latex] P(D)=\frac{140}{210}=\frac{2}{3} [/latex]

e) Seja E o evento em que todos sejam ímpares
entre 0 e 9 há 1,3,5,7,9 (5 números ímpares)
Logo temos [latex]C_{5}^4=5[/latex]
[latex] P(E)=\frac{5}{210}=\frac{1}{42}[/latex]