Derivar em relação ao tempo

Eis a questão:

Um tanque de água possui o formato de um cone circular invertido, com base de raio de 2 m e altura igual a 4 m. Se a água está sendo bombeada para o tanque a uma taxa de 2 m³/min, encontre a taxa na qual o nível de água está aumentando quando a água estiver a 3 m de profundidade.

E a resolução do livro:



Minha dúvida reside na derivação por t. Não entendo como pode ser válida.

Fiz do seguinte modo, por achar mais intuitivo e realmente saber o que estou fazendo e o porquê de cada passo:

V(h) = pi.h³/12  

V(t) = 2t   (É dado no enunciado)

Igualando as duas expressões acima, por representarem o mesmo volume, temos a altura em função do tempo:

h(t) = (24.t/pi)^1/3

Calculando a derivada h'(t), cheguei em h'(t) = (1/3).(24/pi.t²)^1/3

Quando a altura é 3 m, t = t_p = 27.pi/24 min.

Logo, h'(t_p) = 0,2829 m/min.

É bem mais trabalhoso, acho que na maioria dos casos deve ser inviável fazer assim, mas é como realmente entendo o que estou fazendo. Alguém poderia indicar algum material sobre o assunto? Desde já, agradeço.

Up!

Up!

Up!

Up!