Números Primos

por Naval2018 Dom 09 Abr 2017, 16:06

Quantos são os números naturais menores do que 1000 que têm, exatamente, 3 divisores positivos

a)10
b)30
c)45
d)105
e)108

gabarito a

por **Elcioschin** Dom 09 Abr 2017, 16:53

4 (1, 2, 4) - 9 (1, 3, 9) - 25 (1, 5, 25) - 49 (1, 7, 49) - 121 (1, 11, 121) - 169 (1, 13, 169) - 289 (1, 17, 289) - 361 (1, 19, 361), 529 (1, 23, 529) - 841 (1, 29, 841), 961(1, 31, 961)

11 números

Observe que o 3º divisor de cada número é o quadrado do 2º divisor: por exemplo 529 = 23², 841 = 29², etc

por **petras** Dom 09 Abr 2017, 17:21

Mestre, Seguindo sua dica, 26 (1, 13, 26) - 33 (1, 11, 33) não seriam pois não temos o 3º divisor de cada número como quadrado do 2º divisor:

Portanto seria o (1,11,121) e (1,13,169)

por **Elcioschin** Dom 09 Abr 2017, 17:34

Tens razão Petras. Já editei minha solução. Obrigado pelo alerta.

por Naval2018 Dom 09 Abr 2017, 19:47

Boa noite, professor Elcioschin;
O 961(1,31,961), faria parte da solução?

por **Elcioschin** Dom 09 Abr 2017, 19:59

Sim faria, pois 961 < 1000
Só que, neste caso existe erro na alternativa A: deveria ser 11 números (e não 10).

por Naval2018 Dom 09 Abr 2017, 21:36

Professor, caberia a alternativa b?
se contarmos não só os primos, mas também os compostos excluindo o 1?

por **Elcioschin** Dom 09 Abr 2017, 23:37

Não dá para excluir o 1, pois ele é divisor positivo de todos os números.
Por exemplo, se considerarmos o número 10: seriam três divisores positivos diferentes de 1 (2, 5, 10). Acontece que 1 também é divisor positivo de 10. Neste caso o 10 tem quatro divisores positivos, o que não atende o enunciado.

por **ivomilton** Dom 09 Abr 2017, 23:58

Elcioschin escreveu:Não dá para excluir o 1, pois ele é divisor positivo de todos os números.
Por exemplo, se considerarmos o número 10: seriam três divisores positivos diferentes de 1 (2, 5, 10). Acontece que 1 também é divisor positivo de 10. Neste caso o 10 tem quatro divisores positivos, o que não atende o enunciado.

Boa noite, Elcio.

Notei que o texto da questão não se limita aos números primos.
Se forem considerados todos os números que possuem 3 divisores positivos, a resposta seria 30, letra b:
1,2,4
1,3,9
1,4,16
1,5,25
1,6,36
1,7,49
1,8,64
1,9,81
..........
1,31,961

Será que o gabarito (letra a) está correto?

Um abraço.

por **Medeiros** Seg 10 Abr 2017, 03:37

Bom dia, Ivo.

Mas o enunciado limita-se aos números que têm exatamente três divisores positivos. Nos seu exemplos,
16 tem 5 divisores,
36 tem 9 divisores,
e por aí vai.