Limite e Sequência

por jvrn3 Dom 27 Mar 2016, 15:49

Seja a sequência do termo geral a_n, com a_n > 0 para todo natural n. Sabe-se que \lim_{n\to\infty}a_n = a, a real, e que a_n+1 = \frac{1}{1 + a_n} para todo n. Calcule a

...Por onde começar?

por **Carlos Adir** Dom 27 Mar 2016, 21:09

Está certo isso? Caso for, temos a_n é constante para qualquer n.
Ou seria, vamos considerar abaixo:
$a_{n+1}=\dfrac{1}{1+a_n}$
$a_{n+2}=\dfrac{1}{1+a_{n+1}}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+a_n}}$
Contudo, podemos ver que em uma sequência pode ser definida por:
$\lim_{n \to}a_{n}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\cdots}}}$
Contudo, isso pode ser complicado de lidar, deste modo, vamos usar uma propriedade bastante conhecida:
$\lim_{n \to \infty}a_{n-1}=\lim_{n \to \infty}a_{n}=\lim_{n\to \infty}a_{n+1}$
Assim, somente usando a equação primeira dada, podemos observar que:
$\\ L=\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{1+a_{n-1}}=\dfrac{1}{1+\lim_{n \to \infty}a_{n-1}}=\dfrac{1}{1+L} \\ \Rightarrow L = \dfrac{1}{1+L}\Rightarrow L^2+L-1=0 \Rightarrow L = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
Descartamos a possibilidade negativa, pois podemos ver que:
$\mathrm{L=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\cdots}}}} > 0}$
Logo:
$\mathrm{L=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \approx 0,618}$

Podemos verificar:
$\\ \mathrm{a_1 = \dfrac{1}{1+a_0}=\dfrac{1}{2} = 0,5; \ \ se \ a_0=1} \\ \mathrm{a_2=\dfrac{1}{1+a_1}=\dfrac{2}{3} \approx 0,66} \\ \mathrm{a_3=\dfrac{1}{1+a_2}=\dfrac{3}{5} = 0,6} \\ \mathrm{a_4=\dfrac{1}{1+a_3}=\dfrac{5}{8} = 0,625} \\ \cdots \\ \mathrm{a_{10}=\dfrac{1}{a_9}=\dfrac{89}{144} \approx 0,618}$

Ou seja, podemos ver que aproxima de um valor. Podemos ver também que é a sequência de Fibonacci.

por jvrn3 Ter 29 Mar 2016, 18:58

Nossa, muito bom!
Só não lembro dessa propriedade, nunca tinha usado em Cálculo.

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