(FATEC) Equação Trigonométrica

por **Giovana Martins** Sáb 26 Set 2015, 15:26

Sejam as equações A: tgx = sen2x e B: cos²x = 1/2. Sobre as sentenças :

I. As equações A e B têm exatamente as mesmas soluções.
II. A equação B tem soluções x = (Pi/4) + (kpi/2), com k∈Z..
III. No intervalo 0 ≤ x ≤ pi/2 a equação A tem soluções x = 0 e x = Pi/4.

é verdade que
a) somente a I é falsa.
b) somente a II é falsa.
c) somente a III é falsa.
d) todas são verdadeiras.
e) todas são falsas.

por **Carlos Adir** Sáb 26 Set 2015, 17:44

Acho que sua dificuldade foi com a primeira.
Quando cortamos, perdemos soluções, então, a maneira correta é abaixo:
$\\ \mathrm{A: \ tan \ x = sen \ 2x} \\ \mathrm{ \dfrac{sen \ x}{cos \ x} = 2sen \ x \cdot cos \ x} \\ \mathrm{ sen \ x \left(\dfrac{1}{cos \ x} - 2cos \ x \right )=0} \\ \mathrm{ \dfrac{sen \ x}{cos \ x} \left(1-2cos^2 \ x \right )=0} \\ \mathrm{Ou \ seja, \ sen \ x =0 \ ou \ 1-2cos^2 \ x = 0} \\ \begin{cases}\mathrm{ sen \ x = 0 \Rightarrow x = k\pi ; \ \ k \in \mathbb{Z}} \\ \mathrm{1-2cos^2 \ x =0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}; \ \ \ k \in \mathbb{Z}}\end{cases}$

por Smasher Sáb 26 Set 2015, 17:48

Carlos, poderia confirmar se esse raciocínio para a segunda está correto? Achei letra A como resposta.

B:cos²x = 1/2
cos²x - 1/2 = 0

$(FATEC) Equação Trigonométrica Gif$

$(FATEC) Equação Trigonométrica Gif$
$(FATEC) Equação Trigonométrica Gif$
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por **Carlos Adir** Sáb 26 Set 2015, 19:47

Está correto. Mas perceba que você tem resposta ambiguas:
1°) Escolhemos + e k=0 ---> x = pi/4
2°) Escolhemos - e k=1 ---> x = (-pi/4)+(pi/2)=pi/4

Por isso optei pelo (pi/4)+(kpi/2), que já contém todas as respostas. Mas a sua não está incorreta.