(Escola Naval - 2014) Polinômio.

PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2014 (MASCULINO – AMARELA) 

P (x)= ( m - 4 ) (m² + 4).x⁵ + x² + kx 1 um polinômio na variável x, em que m e k são constantes reais. Quais os valores das constantes m e k para que P (x) não admita raiz real?
(A) m= 4 e -2 < k< 2
(B) m= -4 e k>2
(C) m= -2 e -2 < k< 2
(D) m= 4 e  k> 2 
(E) m= -2 e k> -2

Bom, eu pensei o seguinte:

Uma equação do 5º necessita de 5 raízes. Assim é notório que haverá pelo menos uma raíz real, pois raízes complexas sempre admitem as suas raízes conjugadas. Por exemplo: Afirmo que 3+i e 2i são raizes! Logo 3-i e -2i também são raízes, pois são números conjugados das raízes complexas. Perceba que na minha afirmação faltou uma raíz , logo eu sei que a última raíz restante só poderá ser real, pois se for conjugada novamente teremos uma equação do 6º grau e não do quinto. (Confuso?)

Bom para a equação acima não admitir raíz real, teremos que reduzir a equação para uma de grau par.
Somente fazendo m=4 que conseguiremos reduzir a equação acima.

Assim cairemos numa do 2 grau. Agora podemos ter duas raízes reais ou duas complexas, dependendo do valor do delta. Na prova eu testaria alguns valores para K de acordo com as alternativas.

Podemos fazer dessa maneira também:




Agora faremos a condição do delta ser menor que zero, assim teremos valores para K afim de obter somente raízes complexas.



O valores de K para que delta seja menor que zero estarão entre -2 e 2.


Mesmo estando confuso , espero ter ajudado!