Polinômio [ ESCOLA NAVAL 2008]

por ASPIRA 11 Sex 30 Ago 2013, 10:57

pode-se afirmar que a diagonal principal do cubo, cuja aresta correponde, em unidades de medida, ao maior dos móludos dentre todas as raízes da equação:

x^5 +3x^4 +7x^3 +9x^2 +8x +4 = 0 mede

a) √ 2
b) √ 6
c) 2√2
d) 2√3
e) 3√3

resp: B

Até a onde eu fiz eu encontrei raiz ( x1 = -1 ) dai o polinômio foi reduzido para

x^4 +2x^3 +5x^2 +4x +4 = 0 , onde não em raizes reais; portanto como encontro a outras 4 raizes restante para comparar e saber qual é maior em módulo ??

por Luck Sex 30 Ago 2013, 14:53

Sendo -1 uma raíz, por briot-ruffini reduzimos a : x^4 + 2x³ + 5x² + 4x + 4 = 0 como vc encontrou.. para tentar achar as outras raízes , a ideia é tentar quebrar em duas equações de segundo grau, por inspeção e identidade de polinômios obtemos: (x^4 + 2x³ + 5x² + 4x+4) = (x² + x + 2)²
então as outras raízes são: (-1/2) - (√7/2)i e (-1/2) + (√7/2)i que são raízes duplas.
Módulo: √[(1/4) + (7/4)] = √2
D = a√3
D = √2.√3 = √6