M e N

Sejam M e N dois números naturais em que 
M é múltiplo de N,
mdc(M,N)=42 e 
M+N=126

Então quantos divisores positivos M tem?


Alguns fatores obtidos através das informações: 

m>n
m> ou =n
m=n.k
m=42.k_1
n=42.y
126/42=3

Se d divide M, então d< M> 42, logo d é menor que 42.

vou tentar explicar do jeito que eu pensei:

se M é múltiplo de N, então M = N. n  (onde n é um número natural)  por exemplo se 6 é múltiplo de 3 , então 6= 3. n  nesse caso n=2   se você fizer o mmc de 6, 3 vai achar um mmc igual a 6    fatorando  6, 3 I 2        2.3=6 MMC
                                                  3 ,3 I 3
                                                  1 ,1



Ou seja no exemplo acima o mmc de M e N é o próprio M


MMC X MDC = M X N
     M  X 42    = M X N
      N = 42

M+ N = 126
M+42 = 126
M=84


fatorando 84  = 2².3.7 
 achando o número de divisores:  soma +1 aos expoentes e multiplica --> (2+1) (1+1) (1+1) = 12 divisores


*você tem o gabarito?

magcamile escreveu:vou tentar explicar do jeito que eu pensei:

se M é múltiplo de N, então M = N. n  (onde n é um número natural)  por exemplo se 6 é múltiplo de 3 , então 6= 3. n  nesse caso n=2   se você fizer o mmc de 6, 3 vai achar um mmc igual a 6    fatorando  6, 3 I 2        2.3=6 MMC
                                                  3 ,3 I 3
                                                  1 ,1



Ou seja no exemplo acima o mmc de M e N é o próprio M


MMC X MDC = M X N
     M  X 42    = M X N
      N = 42

M+ N = 126
M+42 = 126
M=84


fatorando 84  = 2².3.7 
 achando o número de divisores:  soma +1 aos expoentes e multiplica --> (2+1) (1+1) (1+1) = 12 divisores


*você tem o gabarito?

Oi Magcamile!
Entendi o jeito que você explicou mas não pode ser mmc(m,n)=m, não há uma propriedade que diga isto, por exemplo tente mmc(9,12), o mmc não vai ser 12 entende? Então não é correto afirmar que o mmc(m,n)=m.   
Também não tenho o gabarito.

Mas mesmo assim muito obrigada por tentar.

Por nada, sinto muito por não ter conseguido ajudar. Tentei aqui, mas não consegui pensar de outro jeito :scratch:

M = 84 ---> N = 42 ---> M + N = 126

M = 84 = 2².3.7

n(D) = (2 + 1).(1 + 1).(1 + 1) = 12 ----> 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84

Elcioschin escreveu:M = 84 ---> N = 42 ---> M + N = 126

M = 84 = 2².3.7

n(D) = (2 + 1).(1 + 1).(1 + 1) = 12 ----> 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84

Como o senhor chegou a este resultado?

Boa tarde, Sophia e magcamile.

Se M for múltiplo de N, então certamente N é igual ao MDC entre M e N.

Exemplo:
36 e 12. MDC entre eles é 12, pois 12 é o maior divisor entre 36 e 12, e não tem como o MDC ser maior que 12, uma vez que 12 é um dos elementos do par (36,12).

Resolvendo de outro modo:
M = k.N
N = N
 
MDC(k.N,N) = 42

M/42 = p
N/42 = q

(sendo p e q números primos entre si, pois todos os fatores comuns a M e N estão inclusos em seu MDC 42)

kN/42 = p → kN = 42p (I)
N/42 =_ q → _N = 42q (II)

Dividindo (I) por (II), resulta em:
k = p/q

Donde,
p = k.q

M + N = 126
kN + N = 126
42(p+q) = 126
p+q = 126/42
p+q = 3

k.q + q = 3
q.(k+1) = 3

Ora, 3 é formado por 1 e 3; logo, fica:
q = 1
k+1 = 3
k = 3-1
k = 2

p = kq = 2q
p + q = 2q + q = 3q
3 = 3q
q = 3/3
q = 1

p = 2q = 2.1
p = 2

Logo, podemos escrever:
M = kN = 2N

M + N = 126
2N + N = 126
3N = 126
N = 126/3
N = 42

M = 2N
M = 2*42
M = 84

Conferindo:
MDC(84,42) = 42
M + N = 84 + 42 = 126


M = 84 = 2².3¹.7¹

Quantidade de divisores de 84 = produto dos expoentes dos fatores primos de 84, aumentados, cada um deles, de uma unidade:
(2+1)(1+1)(1+1) = 3*2*2 = 12 divisores




Um abraço.

Agora compreendi, Ivo   eu não posso afirmar que M é o mmc, mas posso afirmar que N é o mdc.  (nesse caso 'aconteceu' de M ser também o mmc = 84, mas não é regra geral como a Sophia tinha exemplificado)



Muito obrigada mesmo pela ajuda de vocês!

magcamile escreveu:Agora compreendi, Ivo   eu não posso afirmar que M é o mmc, mas posso afirmar que N é o mdc.  (nesse caso 'aconteceu' de M ser também o mmc = 84, mas não é regra geral como a Sophia tinha exemplificado)



Muito obrigada mesmo pela ajuda de vocês!

De nada. Voltei e completei com a informação de quantos divisores tem M, ou seja:
84 tem 12 divisores.

Quanto ao que você explicou, digo-lhe que na questão em pauta (M múltiplo de N), tanto N é o MDC(M,N), como também M é o MMC(M,N).

Mas tal somente acontece quanto M for múltiplo de N.




Um abraço.

Muito Obrigada Ivomilton a nos ajudar a resolver esta questão!

Abraço!